数学

質問

ｘの3乗－3ｘの２乗=k
が三つの相異なる実数解を持つための実定数k
の条件を求めよ。

という数学の問題について
教えてほしいです。

ｘ=kとおいて
増減表を書いたり
したのですが
それが合っているやり方なのかも
わからないので
わかる方 教えてほしいです。(><)

回答No.3

shuu_01 · ベストアンサー

y = x^3 - 3x^2
　= x^2（x-3）

ですので、x = 0 の所で y軸と接し、x = 3 の所で ｘ軸をよぎる
曲線であることがわかり、グラフに描いてみます

曲線 y = x^3 - 3x^2　と直線 y = k が ３点で交わるような
k の範囲が求める答えです

曲線が x = 0 と x = 3 で x軸と交わる間で、
１番 小さくなる y の値がわかれば良いです

それは y = x^3 - 3x^2 を微分すると、曲線の傾きがわかるので

まず微分して

y' = 3x^2 - 6x = 3x (x - 2) のグラフを描いてみると、

x < 0、x > 2 の範囲では曲線は右肩上がり、
0 < x < 2 では右肩下がりとわかり、
x = 2 の時、y が１番 小さくなり　 2^3 - 3・2^2 ＝ -4

求める答えは

-4 < k < 0

お礼

回答ありがとうございます(>_<)

図まで載せていただいたので
参考になりました。

何とか答えにたどり着きました！

回答No.4

yyssaa

＞f(x)=x^3-3x^2-kとおくと、
f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)、f'=0の解はx=0,2だから
f(x)はx＜0で増加、0＜x＜2で減少、2＜xで増加。
f''(x)=6x-6=6(x-1)、f''=0の解はx=1だから
f(x)はx＜1で上に凸(∩のような形)、x=1で変曲点、
1＜xで下に凸(∪のような形)の曲線になる。
従って、f(x)=0が三つの相異なる実数解を持つため
には、まずf(x)は極大点と極小点をもつ必要があり、
さらに、極大値＞0かつ極小値＜0が条件となる。
よって、極大値=f(0)=-k＞0すなわちk＜0、かつ
極小値=f(2)=8-12-k=-4-k＜0すなわち-4＜kが条件。
合わせて-4＜k＜0・・・答

お礼

回答ありがとうございます(>_<)

説明がわかりやすかったので
参考にさせていただきました。

何とか答えにたどり着きました！

回答No.2

Tacosan

判別式と呟いてみる

お礼

回答ありがとうございます(>_<)

判別式のやり方も
考えてみます！

回答No.1

asuncion

まずは、
y = x^3 - 3x^2
のグラフを書いてみましょう。

その上で、
y = k
というx軸に平行な直線との
交点が3個になるkの範囲を
求めましょう。

お礼

参考のようにグラフを書いて
求めてみました。

何とか答えにたどり着きました！

助かりました(>_<)!