x^n (1/xを含む)の微積分の求め方
x^n(1/xを含む)の微積分の求め方で、1/xだけexpを使って積分しこれだけlog(x)となりますが、共通的にならないか・・・ということで、すべてexpで置換たらいいのではということで考えました。おおむね下記のような考えで丈夫でしょうか？
頭のリフレッシュということで30年ぶりに数学を再勉強中です。よろしくおねがいします。
A) x^n積分
x^n=exp(k) と置換 x=exp(k/n), k=log(x^n)=nlog(x) なので
∫1/x^n dx = ∫(1/exp(k)) dexp (k/n)/dk dk
= ∫exp(-k)exp(k/n)/n dk = ∫exp(k(1-n)/n)/n dk
ここで n=1 の場合は
∫(log(1),log(x)) exp(0)/n dk = ∫(0,log(x)) dk = log(x)
∫1/x dx = log(x)
n=1 以外の場合は
= (1/(1-n)) exp(k(1-n)/n) = (1/(1-n))exp((1-n)log(x))
= -(1/(n-1)) exp(-(n-1)log(x)) = -(1/(n-1)) exp(-log(x^(n-1)))
∫1/x^n dx = -(1/(n-1)) (1/x^(n-1))
n=-nと置換えると
∫x^n dx = (1/ (n+1)) x^(n+1)
B) 微分も同じように
x^n=exp(k) と置換 x=exp(k/n), k=log(x^n)=nlog(x) なので
dx^n/dx = dexp(k) /dx = (dexp(k) /dk)(dk/dx) = exp(k) dlog(x^n)/dx = exp(k) n dlog(x)/dx = exp(k) n (1/x)
x^n=exp(k) なので
= n x^n /x^-1 = nx^(n-1)
