ガウス分布の積分

質問

実際解けるのかも疑問なのですが、
ガウス分布の積分について、範囲が0から無限ならばわかります。しかし、下式のような範囲だとどうなるのかわからないのですが、わかる方教えていただけないでしょうか？
∫[0,a]exp(-x^2)dx

よろしくお願いします！

回答No.2

adinat

残念ながらこの積分は初等関数では表されません。従ってこの積分を解くことは不可能です。ですが、この関数はたとえば統計などで非常によく使われる関数ですので、(ガウスの)誤差関数などと呼ばれたりもします。上の積分は(√π)/2 * Erf(a)と書き表せます。なおErf(Error function)の定義は二通りの流儀があって、上の積分結果を直接Erf(a)と書く場合と、スケール調節をして(√π)/2 * Erf(a)と書く場合があります。ここではa=∞のときちょうどErf(∞)=1になる∫[0,a]exp(-x^2)dx=(√π)/2 * Erf(a)の定義を採用することにしましょう。

Erf(x)はガンマ関数を用いて表すことも出来ます。簡単な変数変換で証明できます。またErf(x)は微分をすると、2/(√π) * e^{-x^2}になることも定義から容易に分かります。エクセルなどにも標準的に組み込まれていますし、ほとんどの計算ソフトで誤差関数を直接扱うことが出来ると思います。必要なら好きなだけ数値計算できるでしょう。

初等関数だけを扱っているうちは、この手の関数に少し違和感を感じたりすることもあるものですが、たとえばsin(x)のような関数であれば、不安に感じたりすることはありません。ですが、微分演算などは容易にできるものの、たとえば特別な値x=πなどを除けば、sin(1)はいくら？と問われて数値近似による解以外をこたえることはできません。そういう分けで、積分を初等関数によって表すことは不可能ではあるものの、Erf(x)で表せる、ということで満足してしまうのです。e^{-x^2}を積分した関数、って言っているに過ぎないのですけれど。

回答No.1

ojisan7

０から∞なら簡単に求められますが、０からaとなると、簡単な数式で表すのは、ちょっと無理だと思います。やはり、数値解析の手法で近似的に求めるしかないような気がします。例えば、ニュートン・クォーツの公式、シンプソンの公式等です。パソコンで数値的に求める。・・・実用的にはこれで、何も不自由を感じません。

お礼

有難うございました。
参考にさせて頂きます。