標準正規分布関数の導入

質問

標準正規分布関数の導入について、困っています。
下記のガウス積分は、やっと理解できました。

積分（exp(-ax^2）dx=(pi/a)^0.5

この式から、ｘをｚ変換（平均値を引いてから標準偏差で割る）し、∫の値が１になる係数を求めればよいと思います。

しかしながら、ＥＸＰの中のｘ＾２をｚ＾２に置き換えればよいと思うのですが、実際の式は２で割っています。　なぜ、2で割る必要があるのでしょうか？

回答No.5

stomachman

ANo.4へのコメントについてです。
　なぜVの積分を計算なさらないのか不思議に思っていましたが、どうやらお分かりになってなかったようで。

> 疑問に思うのは、なぜa=1/(2(σ^2)）と置くべきかです。

　「べき」か否かという話じゃありません。ANo.2に出て来る分散と標準偏差の説明をご再読あれ。

お礼

アドバイスありがとうございます。

アドバイスによると、たぶん私のＶの計算結果が間違っているようです。

MとＶは、計算してみました。アドバイスのとおり、B=mとなるのですが、V = C/2 とならずＶ＝Ｃとなってしまいました。　　ちなみにＫ＝1/((pi*C)^0.5)でした。

∫ x^2 * exp(-(x^2)/C) dx （∫は0～∞の定積分）=((C^3*pi)^0.5)/2 となりました。

∫を-∞～∞としたときの定積分は、前の結果の2倍になるとして、計算すると、最終的なＶの計算結果がＶ＝Ｃとなってしまいました。　たぶんどこかで、計算間違いをしているのだろうと思います。

補足

その後、分散の計算を再確認したところ、間違っている点がやっと見つかり、アドバイス頂いた結果が、やっと得られました。

何度も質問に対応していただき、ありがとうございました。

回答No.4

stomachman

ANo.3へのコメントについてです。

> なぜか２で割る形になりませんでした。

　もし「２で割る形」なんかになったら、それは計算間違いです。
　　φ(x) = K exp(-((x-m)^2)/(2σ^2))
のとき、
　　∫{-∞～∞} φ(x) dx = 1
となるようにKを定めると、コタエは
　　K=1/√(2π(σ^2))
である。で、コメントによれば
　　2σ^2　= 1/(a^2)
の場合を計算なさったのだから、従って
　　K=√(π/(a^2))
でなくちゃね。「2で割る形」なんかになる筈がない。（ただし、aの肩に載るべき2乗がどこかに行っちゃったらしい。）

> 母集団の平均μの期待値は

それはもちろん、母集団の期待値と等しいわけです。

> t=x-ｍと置くと、

　それで良いんです。あとは教科書不要の簡単な計算。
　　μ=∫{-∞～∞} xφ(x) dt
　　= K∫{-∞～∞} (t+m) exp(-(t^2)/(2σ^2)) dt
　　= K∫{-∞～∞} t exp(-(t^2)/(2σ^2))dt + m K∫{-∞～∞} exp(-(t^2)/(2σ^2)) dt
　さて、第一項については、被積分関数　t exp(-(t^2)/(2σ^2))　が奇関数ですから、積分は計算するまでもなくゼロ。（これが分かんないようなら、
　　∫{-∞～0} t exp(-(t^2)/(2σ^2))dt
を
　　p = -t
と変数変換すれば
　　-∫{0～∞} p exp(-(p^2)/(2σ^2))dp
になることをご確認あれ。）

　また、第二項については
　　K ∫{-∞～∞} exp(-(t^2)/(2σ^2)) dt = 1
になるようにKを決めたんでしたから、これも計算するまでもなし。

お礼

何度もお手数をおかけして申し訳ありません。回答ありがとうございます。少しずつ理解が深まりましたが、まだ疑問点が残っていますので、もう少し教えてください。

φ(x) = K exp(-((x-m)^2)/(2σ^2))のとき、
　　∫{-∞～∞} φ(x) dx = 1
となるようにKを定めると、答えは
　　K=1/√(2π(σ^2))となりますが、
φ(x) = K exp(-(a(x-m)^2))と確率密度関数を定義して、
　　∫{-∞～∞} φ(x) dx = 1
となるようにKを定めると、答えは、
K=1/√(a/π)となりました。　
ここでa=1/(2(σ^2)）と置けば、K=1/√(2π(σ^2))であり、教科書等で見かける式と一致しますが、
もし、a=1/(σ^2)と置けば、K=1/√(π(σ^2))となってしまいます。
疑問に思うのは、なぜa=1/(2(σ^2)）と置くべきかです。

回答No.3

stomachman

ANo.2へのコメントについてです。

ANo.2にM, Vの式が書いてあるでしょ。それを計算するだけです。

お礼

微分積分の本を参考にしながら、計算を試みているのですが、苦戦しています。

確率密度関数を次式の通りと置きました。
∅(x)=Ke^(-〖a(x-m)〗^2 )
∅(x)を-∞から∞まで積分すると、K=√(a/π)となり、なぜか２で割る形になりませんでした。どこで間違ったのか、よくわかりません。

また、母集団の平均μの期待値は、次式としました。
μ=∫〖x∙∅(x)〗 dx
∫〖x∙e^(-〖a(x-ｍ)〗^2 ) 〗 dx
t=x-ｍと置くと、dt=dxとなり、前式は次式となる。
∫〖x∙e^(-〖a(x-ｍ)〗^2 ) 〗 dx=∫〖(t+μ)∙e^(-〖at〗^2 ) 〗 dt=∫〖t∙e^(-〖at〗^2 ) 〗 dt+ｍ∫e^(-〖at〗^2 ) dt

この後も計算してみましたが、この計算結果が、μになるようなaの値を求められていません。

お手数ですが、もう少し詳しい解説をお願いできませんでしょうか？

回答No.2

stomachman

確率変数xの期待値をE[x]と書く事にしますと、確率変数xの分散Vとは確率変数(x-E[x])^2の期待値
　　V = E[ (x-E[x])^2 ]
のこと。そして、分散Vの正の平方根が標準偏差です。だから、確率密度関数φに従う確率変数の期待値Mと分散Vは
　　M = ∫ xφ(x) dx （∫は-∞～∞の定積分）
　　V = ∫ ((x-M)^2)φ(x) dx （∫は-∞～∞の定積分）
で計算できる。
　さて、
　　φ(B,C,x) = K exp(-((x-B)^2)/C)　（ただしC＞0で、Kはφの-∞～∞の定積分が1になるように決める。）
で与えられる確率密度関数φ(B,C,x)に従う確率変数の期待値Mと分散Vは、ごちゃごちゃ計算の結果
　　M = B
　　V = C/2
になる。なので、φ(B,C,x)に従う確率変数の平均(期待値)がm、標準偏差がσであるとき、
　　B = m
　　C = 2(σ^2)

　ちなみに、「z変換」という用語が指すのは、ご質問で仰ってるのとは全く違う意味です。

お礼

回答ありがとうございます。

回答の流れは理解できたのですが、以下の点よく理解できていません。　お手数ですが、もう少し詳しい解説をお願いできませんでしょうか？　（ごちゃごちゃ計算の内容）

確率密度関数φ(B,C,x)に従う確率変数の期待値Mと分散Vは、ごちゃごちゃ計算の結果
　　M = B
　　V = C/2
になる。

回答No.1

spring135

平均値がm,標準偏差σの正規分布関数は

f(x)={exp[-(x-m)^2/2σ^2]}/σ√2π　　　(1)

で与えられます。

標準正規分布関数はm=0,σ=1の場合であって

f(x)={exp[-x^2/2]}/√2π　　　　　　　　(2)

です。

質問者の書いている式は

a=1/2σ^2

の場合であって

正規分布関数は

f(x)={exp[-ax^2]}/√a/π

で表されます。

(1)、(2)においてexpの中に入る2は標準偏差の定義に従って導入されていると考えられます。

お礼

早速の回答ありがとうございます。　私には、まだよく理解できないので、もう少し質問させてください。

ご回答の、”(1)、(2)においてexpの中に入る2は標準偏差の定義に従って導入されていると考えられます。”について、もう少し詳しく教えていただけないでしょうか？

∫（exp(-ax^2）dx=(pi/a)^0.5から、どうやって下記の式を導入できるのでしょうか。（a=1/(2σ^2 )と置くと求まりますが、なぜ２で割るのか納得できていません。）

f(x)={exp[-(x-m)^2/2σ^2]}/σ√2π　　　(1)

お手数ですが、よろしくお願いします。