x^xの積分の正式な求め方

質問

x^xの積分の求め方で、exp(-k)置換積分法(正式にはどういうのかしりませんので私がかってに呼んでるだけですが・・・)で求めたら(x^2) logxになりましたが,どうも置換積分法にたよりすぎている気がします。 これ以外の方法はどういうのがあるでしょうか？webを見ても探しきれませんでした。
頭のリフレッシュということで30年ぶりに数学を再勉強中です。よろしくおねがいします。

A) 置換積分法によるx^x積分

x^x=exp(-k) 以下e(-k) で置換 x=e(-kx^-1), k=-log(x^x)=-xlog(x) なので

∫x^x dx = ∫e(-k) de (-kx^-1)/dk dk = ∫e(-k) (-xde(k)) dk = -∫xe(0) dk = -xk

k=-xlog(x) なので

∫x^x dx = (x^2) logx

回答No.2

info22 · ベストアンサー

>　∫x^x dx = (x^2) logx
右辺を微分しても元に戻りませんから、間違いです。

x^x　は積分不可能な関数です。

積分サイトで積分してみてください。積分できない関数という結果が返ってきます。
ttp://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=x%5Ex&random=false

数値積分なら可能かも知れませんが、初等関数や特殊関数を使っても積分結果を式的には表せません。

お礼

回答ありがとうございます。 積分不能な関数だったのですね。 よくよく考えてみればｘが消えずに入ってしまっているので循環というか入れ子というか積分不可能なことが理解できました。 今度からは教えていただいたサイトなどで良く確かめてから質問するようにします。

回答No.1

koko_u_

とりあえず、微分してみようぜ。