波束の規格化 (量子力学)

質問

問題を解いてます。

波束->　u(x) = ∫ f(k) * exp(ik(x-x0))) dk 　について

この波動関数が規格化されているとき、
∫|f(k)|^2 dk = 1/(2*π)　を示せ。

補足:　積分範囲は[-∞　+∞]
i は　虚数

質問:　規格化されているので、u(x)の複素共役が求めたいが、波動関数が積分されているので、どのように複素共役を求めればいいのかわからないです。教えていただきたいです。　どのようにしてこの問題を解いたらいいか、アドバイスをいただきたいです。

よろしくお願いします。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

>∫(∫f(k)*exp(ik(x-x0)dk)(∫%f(k)%*exp(-ik(x-x0)dk)dx = 1
これは正しいです。これの積分の順序を交換して、xで先に積分する事を考えましょう。xで積分した結果、δ関数が出てきます。

質問とは関係ありませんが、
>∫(∫f(k)*exp(ik(x-x0)dk)(∫%f(k)%*exp(-ik(x-x0)dk)dx = 1
のように書くよりも、
∫dx ∫dk f(k) exp(ik(x-x0))　∫dk' %f(k')%exp(-ik'(x-x0))
のように書いた方が見やすいと(少なくとも私は)思います。
・∫の直後にdxなどを書き被積分関数はdxの後に書く(各変数の積分区間が一目でわかる)
・kとk'のように違う積分変数を用いる(違う積分変数を同じ文字で書くのは混乱の元です)
の２点を変えました。特に違う積分変数を用いていないと、xで先に積分しようと思った時に何が何だか分からなくなると思います。

お礼

再び回答ありがとうございます。
わかりやすく教えていただいたおかげで、解くことができました。
ありがとうございました。

回答No.1

eatern27

積分ではなく、Σα_n β_nのような和の場合には、複素共役がどうなるかは分かりますか？

補足

回答ありがとうございます。

和の場合は　i -> - i で複素共役とれると思います。

とうことは
u(x) の複素共役を %u(x)%　とすると
%u(x)% = ∫ %f(k)% × exp(-ik(x-x0)) dk

∫u(x) * %u(x)% dx = 1 より
∫(∫f(k)*exp(ik(x-x0)dk)(∫%f(k)%*exp(-ik(x-x0)dk)dx = 1

(∫f(k)*exp(ik(x-x0)dk) を部分積分すると
= [ ∫f(k)dk * exp(ik(x-x0)] - i(x-x0) ∫(∫f(k)dk) * exp(-ik(x-x0)dk
となりますが、　ここから　詰まっています。

むしろ　共役は合っていますか？
もしよければ　ご教授お願いします。