シュレディンガー/複素積分

質問

すみません、なにかヒントをください。学部2年女子です。

シュレディンガー方程式、

ih（∂ψ/∂t）＝－（h^2/2m）（∂^2ψ/∂x^2）

の解Ψ（x,t）＝1/√(２π)∫exp(-ihk^2/2m＋ikx)・F(k)dk

F(ｋ)を求めたところ、

F(k)＝A√2σexp(-σ^2k^2)

になりました。

そこで解にあてはめて、積分をしたいのです。

（ｈバーをｈとかきました。Aは定数です。（規格条件から求め済）積分区間はどれも-∞から∞です。）

積分から先に息詰まりました。
自分では

∫exp(-ihk^2/2m＋ikx)・exp(-σ^2k^2)dk

の計算でオイラーの公式でとくのかな？
とも考えましたが、先生がヒントでガンマ関数を使うとか言っていて、
もうよくわかんない状態です。
ちなみにまだガンマ関数、を習っていなく、使い方もよくわかりません。（一応調べましたが、理解できる能力がありませんでした）
複素関数は本当に初歩的な複素積分しかやっていません。

なにか解けるヒントをと思い投稿しました。
恐縮ですがどうぞご教授のほどおねがいします。

また、見難い文章ですみません。
なにか間違いがあればご指摘くださぃ

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

>Ψ（x,t）＝1/√(２π)∫exp(-ihk^2/2m＋ikx)・F(k)dk
Ψ（x,t）＝1/√(２π)∫exp(-ihk^2t/2m＋ikx)・F(k)dk
の誤植ですかね？(expの中の第1項にtをかけました)

とりあえず、今の状況としては、
(t=0での？)適当な初期条件を満たすように
>F(k)＝A√2σexp(-σ^2k^2)
というのを求めたので、一般のtについてψ(x,t)を計算しようと思ったが、
>∫exp(-ihk^2/2m＋ikx)・exp(-σ^2k^2)dk
をどうやって計算すればいいか分からん、という感じでしょうか。

まぁ、expの中身が2次式ですから、平方完成してやればガウス積分の形になりますよね。

あと、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E7%A9%8D%E5%88%86
を見ると、ガンマ関数云々とありますので、先生のヒントはこれの事を言っているのかも。

お礼

回答ありがとうございます。

すみません、ｔを忘れていました。

おっしゃるとおりです。

ガウス積分についてやってみます。
先が見えそうで本当に助かりました。