大学レベルの線形代数の質問

質問

教授からレポートが出されました。

R^nの部分ベクトル空間は，ある連立一次方程式の解空間であることの証明と、f : V →U をベクトル空間の間の線型写像とし，v1,…,vk∈V としたとき、f(v1),…,f(vk)が一次独立ならばv1,…,vk も一次独立であることの証明がわかりませんでした。

どちらか片方だけでも構いません。わかる方がいらっしゃったら、ご回答を願います。
よろしくおねがいします。

回答No.5

misumiss

u_1, ....., u_n が U の元なら, f(u_1), ....., f(u_n) は定義できないので,
c_1・f(u_1) + ..... + c_n・f(u_n) = f(c_1・u_1 + ..... + c_n・u_n)
という等式を考えることができない, という意味です.

もうひとつの問題も簡単ですので, 頑張って御自分で証明を完成なさってください.

お礼

ありがとうございました。

できれば、解法の糸口だけでも教えていただけないでしょうか。

回答No.4

misumiss

＞対偶から攻めるということで、v1,…,vkが従属ならば f(v1),…,f(vk)も従属である。という方向から行けばいいんですよね？
この方針で, 問題ありません.
それなのに, なぜ,
＞このとき、c1f(u1)+……+cnf(un)を考える。
となるのですか.
c_1・f(v_1) + ..... + c_k・f(v_k) という線型結合を考える, ならわかりますが, u と v, n と k, を混同したのでしょうか.
v_1, ....., v_k は V の元ですが, f(v_1), ....., f(v_k) は U の元です.
もし, u_1, ....., u_n が U の元なら, f(u_1), ....., f(u_n) は, そもそも定義できません.
f は V から U への線型写像であることを, 思い出してください.
また,
＞c1f(u1)+……+cnf(un) ⇔ f(c1u1+……+cnun)…(2)
これは, どういう意味をもつのでしょう.
⇔ ではなく, 等号であれば, （間違っているとはいえ, いちおう）理解できますが.
さらに,
＞で、(1)よりc1vi+…+ckvk=0でc1,c2,…,ck≠0である(c1,…,ck)の解が存在する。
"c1,c2,…,ck≠0," とは, どういう意味ですか.
また, "(c1,…,ck)の解," というのも, 正しい表現ではありません.

細かい点まで指摘すれば, 他にもおかしい部分がありますが（例えば, v1 とかくべきところを vi としていたり）, すでに十分すぎるくらい支離滅裂で, 零点にするしかありません.

補足

１つ目の指摘に関してはvとuを混同していました。
c_1・f(v_1) + ..... + c_k・f(v_k)を考えています。

２つ目の指摘に関しては、⇔は＝の間違いです。
教科書のf(v_1)+f(v_2)=f(v_1+v_2)という公式とc_1f(v_1)=f(c_1v_1)という公式を組み合わせて使いました。間違えていますか？

３つ目は、(c_1,c_2,…,c_k)≠(0,0,…,0)ですね。すみません。

これでどうでしょうか？

なにはともあれ、ご指摘ありがとうございました。

回答No.3

misumiss

＞採点よろしくお願いします。
もちろん, 零点です（ただし, その理由は, わざわざ対偶を考えたからではありません）.

与えられた命題そのものを, 簡単に証明できるのに, なんでわざわざ, 対偶を考える必要があるのか.
V, U を, ともに体 K 上のベクトル空間とし, さらに,
c_1・v_1 + c_2・v_2 + ..... + c_k・v_k = 0_v, ただし,
c_1, c_2, ....., c_k ∈ K,
v_1, v_2, ....., v_k ∈ V,
0_v ∈ V, 0_u ∈ U を, それぞれ, ベクトル空間 V, U の零ベクトルとする.
このとき,
f(c_1・v_1 + c_2・v_2 + ..... + c_k・v_k) = f(0_v) = 0_u
であり, よって,
c_1・f(v_1) + c_2・f(v_2) + ..... + c_k・f(v_k) = 0_u
が成り立つが, f(v_1), f(v_2), ....., f(v_k) が一次独立であることより,
c_1 = c_2 = ..... = c_k = 0 ∈ K
よって, v_1, v_2, ....., v_k は一次独立.

お礼

回答ありがとうございました。
この回答は理解できました！

できれば、補足にも書いたように、解答の不備を指摘してください。
よろしくお願いします。

補足

> もちろん, 零点です（ただし, その理由は, わざわざ対偶を考えたからでは ありません）.

と、いうことは、僕の回答に不備があるということですよね？
できればそこも指摘していただけませんか。
さっぱりわかりません。

回答No.2

Tacosan

あなたが頭を使うことのできる貴重な時間を無にするような無粋なことはしない.

自分で考えたうえでどこがわからないのかを書けば指摘する.

補足

自分なりの考えを書かせていただきます.

対偶から攻めるということで、v1,…,vkが従属ならば f(v1),…,f(vk)も従属である。という方向から行けばいいんですよね？

v1,…,vkが従属のとき、c1vi+…+ckvk=0としたとき自明でない解をもつ。…(1)

このとき、c1f(u1)+……+cnf(un)を考える。
c1f(u1)+……+cnf(un) ⇔ f(c1u1+……+cnun)…(2)
で、(1)よりc1vi+…+ckvk=0でc1,c2,…,ck≠0である(c1,…,ck)の解が存在する。
その解のとき、f(c1u1+……+cnun)=０であり、(2)よりc1f(u1)+……+cnf(un)=０となる。
よってc1f(u1)+……+cnf(un)も自明ではない解(c1,…,ck)を持つので、f(v1),…,f(vk)も従属である。

対偶により、題意は示されまし…た？
採点よろしくお願いします。

回答No.1

Tacosan

前半は次元数に関する帰納法でがんばるか?

後半は対偶で瞬殺.

補足

このような我儘が許されるのかわかりませんが、もしよろしければ証明を書いていただけないでしょうか。

ちなみに前半と後半はまったく別の問題です。後半だけでもよろしくお願いします。