コホモロジー複体の具体例

質問

お世話になります。コホモロジー複体の具体例を教えてください。日本評論社の「コホモロジー」（安藤哲哉著）で勉強しています。p.50でベクトル空間の双対空間が出てきて、これは知っています。
境界作用素∂_pの「双対線型写像」とやらが理解できません。例えば、三角形ABCを考えて、 x = 3<AB>+2<BC>に対し、∂_p (x) = 3<A>-<B>-2<C>までは、分かるのですが、その双対線型写像とそのコホモロジー複体とはどんなものなのでしょうか。できれば、同じ様な具体例で教えてください。よろしくおねがいします。

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

この質問に多数の回答が寄せられているのですが、「無」という深遠な回答であるため残念ながら見ることはできません。
a をC_q+2 の任意の元、x をC_q の双対空間の元、δ(x)=y とすると

　(δδ(x))(a) = (δ(y))(a) = y(∂a) = δ(x)(∂a) = x(∂∂a) =0

なので δδ(x)=0 となるのは当然のことです。

お礼

なるほど、それは少しがっかりです。＞たくさんの回答。
僕にもその「無」が見えればいいのですが。

おお、とても分かりやすいです。非常に助かりました。
ご回答ありがとうございました。

回答No.1

grothendieck

世界的な権威からすばらしい回答が多数寄せられて心強い限りですね。最先端の難問に自信を持って回答されている方が多数いらっしゃるのですから、こんな基礎的な問題には数え切れないほどのの回答が寄せられてきています。
ベクトル空間 C_q の双対空間は C_q から実数の集合Rへの線形写像です。C_q から C_q-1 への線形写像∂_q とC_q-1 の双対空間の元x があるとき、∂_q とx の合成写像はC_q からRへの線形写像になります。（∂_q の定義域はC_q、値域はC_q-1の部分空間、ｘの定義域はC_q-1、値域はRの部分空間）。この写像をδ(x)で表すと

　δ(x) = x・∂_q

ｘを決めるごとにC_q の双対空間の元が決まるので δ はC_q-1 の双対空間からC_q の双対空間への写像と見なすことができます。δ が∂_qの「双対線型写像」です。具体例は
　佐藤肇「位相幾何」(岩波書店）p.60
に単体的複体のコホモロジーがあるので参照されると良いでしょう。ただし添付画像のように修正する必要があると思われます。

補足

おお、回答ありがとうございます。
世界的権威とはなんのことですか？この質問だけでなく、教えてgoo!一般にはすごい方々がいらっしゃるということですか？回答が数えきれないほどとは、この質問に対してですか？
回答されている方が他にもいらっしゃるなら、読みたいし、お礼もしたいので回答が書かれているページを教えてくれませんか？

それはさておき、本題について、この質問をしてから、自分なりに考えてみたので、
あっているかどうか確認していただけませんか？

ばからしい具体例かもしれませんが、
三角形<ABC>を考えます。そこで、∂_pの双対写像δ_iを考えると、
δ_0<A>=<AB>+<AC>となって、もう一回その写像を取ると、
δ_1(<AB>+<AC>)=<ABC>+<ACB>=0等と言う計算をすればよいのでしょうか？