方程式
||x|-2| = √(|(X^2)-4x|+4) ---(1)
を解け。
この問題に回答します。
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説明の都合上、
A=|x|-2 ,B=|(X^2)-4x|+4
とおきます。
Bは√記号の中に入っていますから、0以上です。
したがって、√(B)を2乗するとBになります。
(√(B))^2=|B|=B
(|A|)^2 =A^2
(正の数も負の数も2乗すると正の数になりますから、
Aの2乗と(-A)の2乗はいつでも等しいです。
|A|の2乗とAの2乗はどちらもA^2
になります。)
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[解答]
(1)の左辺が0以上であるから、(1)の右辺も0以上の実数である。このための必要十分条件は、根号内の式|(X^2)-4x|+4 が0以上であることである。ところが、|(X^2)-4x|≧0 であるから、|(X^2)-4x|+4≧4>0 であり、「(1)の右辺の√内の式は0以上」が常に成り立っている。
(1)の両辺を2乗して、
||x|-2|^2 = ||(X^2)-4x|+4 |
|(X^2)-4x|+4 は(1)の根号内の式で、0以上であるから、
(|x|-2)^2 = |(X^2)-4x|+4
左辺を計算して、
|x|^2 - 4|x| +4 =|(X^2)-4x|+4
(x^2) -4|x| =|(X^2)-4x| -----(2)
場合に分けて、(2)の絶対値をはずす。
ⅰ)x ≦ 0 のとき、
(X^2)-4x ≧0 で
|x|=-x ,|(X^2)-4x|=(X^2)-4x
であるから、(2)は、
(x^2) +4x =(x^2)-4x , 8x=0 , x=0---(3)
この値は x ≦ 0 を満たしている。
ⅱ)0≦ x ≦4 のとき、
(X^2)-4x ≦0 で、
|x|=x , |(X^2)-4x|=-{(X^2)-4x}=-(X^2)+4x
であるから、(2)は、
(x^2) -4x =-(X^2)+4x
2(x^2)-8x = 0 ,(x^2) -4x =0
x(x-4)=0 , X=0,4---(3)
この値は 0≦ x ≦4 を満たしている。
ⅲ)4≦x のとき、
(X^2)-4x ≧0 で、
|x|=x ,|(X^2)-4x|=(X^2)-4x
であるから、(2)は、
(x^2) -4x =(x^2)-4x
この両辺はxの値に関係なく常に等しい。
したがって、4≦xを満たすすべての実数x---(4)
が(2)を満たす。
以上から、求める解は、
x=0 および 4以上のすべての実数x
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検算していないので、間違っているかもしれませんが、解答方針については、自信あり、です。
補足
いろいろととても詳しい説明をしてくださってありがとうございます。 ほとんどわかりましたが、最後の答えがよくわかりません。 x=0 および 4以上のすべての実数x が、どうしてこのことが言えるのでしょうか?