高校で学習する「絶対値」について

質問

高校で学習する「絶対値」について
高校（一年生）で学習する「絶対値」について、腑に落ちない点があります。

数学の教科書では「絶対値」について、ふつう、次のような定義が解説されています。

（１）
xについて、|x|=x(x≧0のとき)
xについて、|x|=-x(x＜0のとき)

この定義では、x=0の場合を上（x＞0）の場合に吸収しており、負の数と正の数を対称に扱っていないため、数学的に間違った定義ではなく、実践的な問題を解く際にも不都合は生じないとはいえ、なんとなく違和感を感じてしまうのです。（こういう風に感じるのは私が未熟なためかもしれませんが…）
つまり、

（２）
xについて、|x|=x(x≧0のとき)
xについて、|x|=-x(x≦0のとき)

あるいは

（３）
xについて、|x|=x(x＞0のとき)
xについて、|x|=-x(x＜0のとき)
xについて、|x|=0(x＝0のとき)

と、x=0の場合をx>0とx<0の両方の場合に吸収する、あるいは独立させたほうが、正の数と負の数を対称に（平等に）扱っていて、定義としては美しいと思うのです。
（もっとも、（３）の定義では、実践的に問題を解く際に場合分けの種類が多くなり不便になってしまいますが…）

どの教科書も（１）の定義を採っているのは、どういった理由によるのでしょうか。
回答宜しくお願いします。

回答No.3

chie65536（@chie65535） · ベストアンサー

xについて、|x|=0(x＝0のとき)

は、0をxに変えても同義ですから

xについて、|x|=x(x＝0のとき)

と書けます。

xについて、|x|=x(x＞0のとき)
xについて、|x|=x(x＝0のとき)

は「x＞0、または、x＝0」と同義ですから

xについて、|x|=x(x≧0のとき)

と書けます。

従って

＞xについて、|x|=x(x＞0のとき)
＞xについて、|x|=0(x＝0のとき)

は

xについて、|x|=x(x≧0のとき)

と同義ですから、定義の美しさは変わりません。

では

xについて、|x|=x(x≧0のとき)
xについて、|x|=-x(x≦0のとき)

はどうでしょう？

これを展開すると

xについて、|x|=x(x＞0のとき)
xについて、|x|=x(x＝0のとき)
xについて、|x|=-x(x＜0のとき)
xについて、|x|=-x(x＝0のとき)

の４つになります。

「x＝0」に注目し、xを0に置き換えると

xについて、|x|=0(x＝0のとき)
xについて、|x|=-0(x＝0のとき)

となってしまい「負のゼロ」と言う訳の判らないモノが出現し、しかも

xについて、x＝0のとき、|x|=0または|x|=-0

と言う意味になってしまい「どっちだよ？」って事になりますね。この定義は「とても汚い」と思いませんか？

そういう訳で「見た目の対称性」に誤魔化されてはいけません。

見た目で対称になっていても定義が対称になってなかったり、見た目が対称ではなくても定義が対称になっている事があるって事を覚えておきましょう。

もちろん「簡略化した時、見た目も対称で、定義も対称」なのが「最も美しい」のは、質問者さんが気付いた通りですけどね。

お礼

なるほど！！
確かに、教科書の定義が最も美しいですね…
あと、説明がとてもスマートで驚きました。

感動しました。ありがとうございます。

回答No.4

alice_44

その(1)(2)(3)は、どれも同値な定義ですから、
どっちが良いも悪いもありません。
好きなほうを使えばよいです。
貴方の審美眼に合うものを…

(2)のように場合分けが排他的でないものは、
ちょっとどーかとは思うけれど。

お礼

わかりました。

やはり、（２）の定義はイマイチなのですね、、

（１）もこれからは使うことにします。

回答No.2

jojojotrap

質問者さんは高校一年生ですか？
だとしたら未熟どころかセンス抜群だと思います。

お礼

はい、一年生です。
どういった点にそう感じられたのでしょうか？
ありがとうございます。

回答No.1

aokii

どの教科書も（１）の定義を採っているのは、単なる慣習です。
数学というのは、所詮、人が決めた仮定から出来ている学問ですから。
ちなみに、何か統一された表記がないと不便でしょう。
私がもっとも不思議に思う数学の習慣は、a×bとa*bとabや、a/bとa÷bや、√aとa^0.5です。

お礼

なるほど。慣習のためなのですね。

そういえば、中学校まで乗法を「a×b」と表していたのに、高校に入ったとたん「a・b」と表すようになったのも不思議です…

回答ありがとうございました。