周波数特性の問題

質問

以下の問題について、解答をできるだけわかりやすく教えていただけないでしょうか。

H(z)= (c+bz^-1+az^-2)/(a+bz^-1+cz^-2)の振幅特性がA(ω)=|H(e^jw)|=1であることを示しなさい。

a,b,cは実数

宜しくお願いします。

回答No.3

178-tall · ベストアンサー

>なぜ１なのかが曖昧…

くどくどと書けば、

　H[e^(jω) ] = { c + be^(-jω) + ae^(-j2ω) }/{ a + be^(-jω) + ce^(-j2ω) }
　= e^(-j2ω)*{ c + be^(-jω) + ae^(-j2ω) }/{ c + be^(jω) + ae^(j2ω) }

右辺にて、最初の項　e^(-j2ω)　の絶対値は明らかに 1 。

続く分数式、
　{ c + be^(-jω) + ae^(-j2ω) }/{ c + be^(jω) + ae^(j2ω) }
では、{a, b, c} が実数なら分子と分母はたがいに共役値。
つまり、分子と分母の「絶対値」は相等しい。

お礼

ご丁寧にご解答いただきましてありがとうございます。
大変参考になりました。

回答No.4

178-tall

ケアレス・コピー・ミスの訂正。

くどくどと書けば、

　H[e^(jω) ] = { c + be^(-jω) + ae^(-j2ω) }/{ a + be^(-jω) + ce^(-j2ω) }
　= e^(j2ω)*{ c + be^(-jω) + ae^(-j2ω) }/{ c + be^(jω) + ae^(j2ω) }

回答No.2

178-tall

勇み足の訂正、です。

題意に従えば、
　H[e^(jω) ] = { c + be^(-jω) + ae^(-j2ω) }/{ a + be^(-jω) + ce^(-j2ω) }
…になるだろう。

お礼

早速ご回答いただきましてありがとうございます。大方理解できました。

ただ自分の基本的理解が足りないからと思いますが
>…ならば、A(ω) の絶対値は 1 である。
の箇所がなぜ１なのかが曖昧で、|e^(-j2ω)|=1 はオイラーの公式より,2ωの値がなんであれ1になるという理解でいいでしょうか。

回答No.1

178-tall

>H(z)= (c+bz^-1+az^-2)/(a+bz^-1+cz^-2)の振幅特性がA(ω)=|H(e^jw)|=1であることを示しなさい。　↓　a,b,cは実数

題意に従えば、
　A(ω) = H[e^(jω) ] = { c + be^(-jω) + ae^(-j2ω) }/{ a + be^(-jω) + ce^(-j2ω) }
…になるだろう。

右辺の分母は、
　e^(-j2ω)*{ c + be^(jω) + ae^(j2ω) }
に等しい。
ωは実変数らしいから、{　} の中は右辺分子の共役値。

…ならば、A(ω) の絶対値は 1 である。