判別式の問題です。

質問

a>0, b>0, c>0, d, e, fは実数とする。任意の実数x, y, zに対して
ax^2+by^2+cz^2+2dxy+2exz+2fyz>0ならば、行列式
| a d e |
| d b f | >0
|e f c |
が成り立つことを示してください。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

a>0,b>0,c>0,d,e,fは実数とする
任意の実数x,y,zに対して
X=(x;y;z)
tX=(x,y,z)

A
=
(a,d,e)
(d,b,f)
(e,f,c)

tXAX=ax^2+by^2+cz^2+2dxy+2exz+2fyz>0
とする

Aは実対称行列なので
Aの固有値を対角に並べた対角行列をD
Aの単位固有ベクトルを並べた直交行列をL
D=L^(-1)AL
とできる

X=(x;y;z)
をAの単位固有ベクトルとすると
tXAX=ax^2+by^2+cz^2+2dxy+2exz+2fyz>0
はAの固有値となるから
Aの固有値は全て正となる
Dは固有値を対角に並べた対角行列だから
Dの行列式は固有値の積となるから
|D|>0
となる
Lは直交行列だから
|L|=|L^(-1)|=1
だから
0<|D|=|L(-1)AL|=|L^(-1)||A||L|=|A|
だから
∴
|A|>0

お礼

素晴らしい回答、ありがとうございました。