高校一年の問題です。

質問

2x-3y+z=4、3x-2y-z=1の時

　ax^2+by^2+cz^2=yz+zx+xy を満たすa,b,cの値はいくらか？

という問題です。（「xの二乗」の表記は「x^2」でしたっけ？）
解答はa=4,b=-1/2,c=-1/2です。

解答に辿り着くまでの過程がわかりません。
ヒントのみでも構いません。
教えて下さい。よろしくお願いします。

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

[参考解]
(例えばxで他を表す方針だと,)
2x-3y+z=4，3x-2y-z=1　より
y=x-1, z=x+1
で
ax^2+by^2+cz^2=yz+zx+xy
⇔ax^2＋b(x-1)^2+c(x+1)^2=3x^2 -1
これはxの恒等式なので
代入法または係数比較法などの方法で係数を決めればよい.

例えば平凡に係数比較だと
左辺を展開して右辺の同じ次数の項と係数比較すると
a+b+c=3
-2b+2c=0 ⇔ b=c
b+c=-1
より
a=4,b=-1/2,c=-1/2

お礼

わざわざ、参考解までありがとうございました。

回答No.1

oshiete_goo

3変数x,y,zに対して, 2つの(独立な)条件式
2x-3y+z=4, 3x-2y-z=1
があるので, 原則論としては, 上の2式より1つの文字で他の2文字を表して(例えばyとzをxの式で表して)
ax^2+by^2+cz^2=yz+zx+xy
をその1文字(x)だけの式にする・・・(2文字を消去)
すると, 残った1文字についての恒等式になります.
例えば, 連立方程式を解くようにして, yを消去すると, xとzの関係式が出てきて,
それを使ってｚ＝(xの式)など.

実際にどの文字を残すのが良いかは問題によります. 今の場合, x(かy)で他を表すのがよさそうに思えますが, 原理的な優劣はないはずです.

お礼

ありがとうございました。
バッチリわかりました。