複素数 等角写像の問題

質問

『W=(az+b)/(cz+d)

(a,b,c,d は実数で、ad-bc=1 が成り立つ)

　このWについて次の問題に答えよ。

　（１）zの虚部が正であるとき、Wの虚部も正であることを示せ。

　（２）z平面において実軸上に中心がある上半面は、W平面の実軸上に中心のある上半面、又は実軸に垂直な半直線に写像されることを示せ。』

という問題なのですが、これらはどちらもW=u(x,y)+iv(x,y)と考えて解けばいいのでしょうか。
またad-bc=1の関係式はどのようにして用いるべきでしょうか。
どなたか分かる方がいましたらアドバイスなどよろしくお願いします。

回答No.2

noname#101087 · ベストアンサー

式の切り貼りがメチャメチャでした。

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(1) Im{W} = Im{(az+b)/(cz+d)} = [(az+b)/(cz+d) - (az~+b)/(cz~+d)]/(2i)
　　　　　= (ad-bc)(z-z~)/(2i*|cz+d|^2) = Im(z)/|cz+d|^2

お礼

ありがとうございます！

回答No.1

noname#101087

z の共役を z~ と記すと、

(1) Im{W} = Im{(az+b)/(cz+d)} = [(az+b)/(cz+d) - (az~+b)/(cz~+d)]/(2i)
　　　　　= (ad-bc)(z-z~)/|cz+d|^2 = i*2Im(z)/|cz+d|^2

(2) 題意が読みきれないままコメントすれば、(1) を使うスタイルみたいですね。

お礼

なるほど……この式変形にはまったく至りませんでした。
両辺の虚部を取って、共役複素数との差の形にすればよかったのですね。
本当にありがとうございました！