加法・整数倍について閉じているということ。

質問

整数の集合Ｚは加法および整数倍について閉じているということを習いました。
その発展問題なんですが、教えてください。

ａ，ｂ∈Ｚとします。
ここで、ａＺ＋ｂＺの定義とは何でしょうか？？
また、「ａＺ＋ｂＺが加法および整数倍について閉じている」ということはどう示したらよいのでしょうか？？

教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

noname#24477 · ベストアンサー

条件を省略して書かせてもらいます。略解

(am+bn)+(am'+bn')=a(m+m')+b(n+n')
Zは加法について閉じているから
ｍ＋ｍ’∈Ｚ，ｎ＋ｎ’∈Ｚ
よって　ａＺ＋ｂＺは加法について閉じている。

ｋ∈Ｚとするとき
ｋ（ａｍ＋ｂｎ）＝ａ（ｋｍ）＋ｂ（ｋｎ）
ｋｍ∈Ｚ，ｋｎ∈Ｚ
よって　ａＺ＋ｂＺは整数倍について閉じている。

お礼

ありがとうございました！！

回答No.1

grothendieck

aZ+bZというのはam+bn (m,n∈Z)という形をした整数の集合です。この集合が加法と整数倍で閉じていることは定義から直ちに従います。