周波数特性の計算

質問

伝達関数がH0(z)=z^-1 ＋2z^-2 +ｚ＾-3のものと
　　　　　H1(z)=z^-1 －2z^-2 +ｚ＾-3
この２つのフィルタそれぞれについての振幅特性を出したいのですが、計算が苦手で周波数特性の計算をしても答えらしきものが出ません・・。そんなに難しくはないのかもしれませんがあまりディジタル信号処理の勉強が得意ではないので分かるかたがいましたら教えていただきたいのです。

回答No.2

nubou · ベストアンサー

できればzにe^-jωを代入するだけの形で計算したいと思っています。：
ω＝２・π・ｆだから
ｚ＝ｅｘｐ（ｊ・ω）となるのは
サンプリング周波数が１とのときすなわわちｆｓ＝１／Ｔｓ＝１のときだけです
そしてそのときでもｚ＝ｅｘｐ（－ｊ・ω）にはなりません
出題者は間違っていますね

H0(z)の振幅特性が１＋e^jω：
Ｈ０（ｚ）＝（１＋ｚ＾（－１））＾２・ｚ＾（－１）であって
Ｈ０（ｚ）＝１＋ｚにはなりません

H1(z)の振幅特性が１－e^jωとなるらしいですが周波数特性の出し方がいまいちよくわかりません。
Ｈ１（ｚ）＝（１－ｚ＾（－１））＾２・ｚ＾（－１）ですからそのようにならないので分からないほうが正しいのです
分かったら間違っているということです

Ｔｓと書くところをＴとかいてしまったけれども正確に書くと
Ｈ０（ｅｘｐ（ｊ・２・π・ｆ・Ｔｓ））＝
４・ｅｘｐ（－ｊ・４・π・ｆ・Ｔｓ）・ｃｏｓ＾２（π・ｆ・Ｔｓ）＝
２・ｅｘｐ（－ｊ・４・π・ｆ・Ｔｓ）・（１＋ｃｏｓ（２・π・ｆ・Ｔｓ））
であり
Ｈ１（ｅｘｐ（ｊ・２・π・ｆ・Ｔｓ））＝
－４・ｅｘｐ（－ｊ・４・π・ｆ・Ｔｓ）・ｓｉｎ＾２（π・ｆ・Ｔｓ）＝
－２・ｅｘｐ（－ｊ・４・π・ｆ・Ｔｓ）・（１－ｃｏｓ（２・π・ｆ・Ｔｓ））
です

ω＝２・π・ｆですから
Ｈ０（ｅｘｐ（ｊ・ω・Ｔｓ））＝
２・ｅｘｐ（－ｊ・２・ω・Ｔｓ）・（１＋ｃｏｓ（ω・Ｔｓ））
とかいても
Ｈ１（ｅｘｐ（ｊ・ω・Ｔｓ））＝
－２・ｅｘｐ（－ｊ・２・ω・Ｔｓ）・（１－ｃｏｓ（ω・Ｔｓ））
とかいても同じです

サンプリング周波数が１すなわちｆｓ＝１／Ｔｓ＝１ならば
Ｈ０（ｅｘｐ（ｊ・ω））＝
２・ｅｘｐ（－ｊ・２・ω）・（１＋ｃｏｓ（ω））
であり
Ｈ１（ｅｘｐ（ｊ・ω））＝
－２・ｅｘｐ（－ｊ・２・ω）・（１－ｃｏｓ（ω））
である

勿論このような式で書き間違いは良くあるので補足に訂正してください

回答No.1

nubou

Ｈ０＝（１＋ｚ＾（－１））＾２・ｚ＾（－１）
サンプリング間隔を１／ｆｓ＝Ｔｓとするとｚ＝ｅｘｐ（ｊ・２・π・ｆ・Ｔ）だからオイラーの式より
１＋ｚ＾（－１）＝２・ｅｘｐ（－ｊ・π・ｆ・Ｔ）・ｃｏｓ（π・ｆ・Ｔ）
よって
Ｈ０＝４・ｅｘｐ（－ｊ・４・π・ｆ・Ｔ）・ｃｏｓ＾２（π・ｆ・Ｔ）
同様に
Ｈ１＝－４・ｅｘｐ（－ｊ・４・π・ｆ・Ｔ）・ｓｉｎ＾２（π・ｆ・Ｔ）

この式から猿でも特性をつかめますね

ただし大雑把に短時間でやったので書き間違いしていると思います
考え方だけ受け取って正しい結果を補足に

お礼

ご回答ありがとうございます、参考にして計算してみます。
補足：できればzにe^-jωを代入するだけの形で計算したいと思っています。
H0(z)の振幅特性が１＋e^jω
H1(z)の振幅特性が１－e^jωとなるらしいですが周波数特性の出し方がいまいちよくわかりません。