NHKドラマ「ハードナッツ！～・・・」の確率

質問

「ハードナッツ！～数学ｇｉｒｌの恋する事件簿～」第二話にて、登場人物の一人が一万人に一人がかかるという（おそらく架空の）不治の難病に、検査精度99.9％の検査で陽性と判定された、とのこと。

その検査結果に多少自棄になる登場人物に対して、主人公（数学ｇｉｒｌ）が、その検査結果で実際に病気なのは約十人に一人だ、と諭すのです。

その計算がどうも納得いかないので、諸氏の見解をご教授下さい。

彼女が言うには、

・10,000人検査したら、9,990人に正しい判定が下る。
・つまり、10人には間違った判定が下る。
・本当に病気なのは1万人にひとり。
・したがってその検査結果で実際に病気なのは約10人にひとり。

私は検査精度の確率の99.9％と、病気になる確率が1万人にひとり、というのは全く別のレイヤーの話だと思うのですが、間違っているのでしょうか？

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

検査精度が 99.9％ ってのは、何でしょう？
「精度」は、日常語で、統計用語としては未定義かと思います。
一応、以下のように解釈してみます。

検査の特異性(精度)　→　(検査陰性で実際に病気でない人の数)/(実際に病気でない人の数) = 99.9/100
検査の感度(精度)　→　(検査陽性で実際に病気である人の数)/(実際に病気である人の数) = 99.9/100
有病率　→　(実際に病気である人の数)/(総人口) = 1/10000.
知りたいのは、(検査陰性で実際に病気である人の数)/(検査陽性の人の数) の値です。

総人口の中で
検査陽性で実際に病気である人の割合を x,
検査陽性だが実は病気でない人の割合を y,
検査陰性だが実は病気である人の割合を z,
検査陰性で実際に病気でない人の割合を w
(x+y+z+w=1) と置くと、

w/(y+w) = 99.9/100,
x/(x+z) = 99.9/100,
x+z = 1/10000,
x/(x+y) = r.
この r の値が知りたい訳です。

連立一次方程式を解くと、
x = 999/10^7,
y = 9999/10^7,
z = 1/10^7,
w = 9989001/10^7.
よって
r = 999/(999+9999) ≒ 0.0908346…

病気である率は、数学girl が言うより
もっと少ないかもしれませんね。

＃ どーでもいいことですが、「数学girl」てのは
＃ 著作権的にどーなんですかね？

お礼

ご回答ありがとうございました。
A No.7さんのお礼にまとめて見解を述べます。

補足

ご回答ありがとうございます。

＞(x+y+z+w=1) と置くと、
＞
＞w/(y+w) = 99.9/100,
＞x/(x+z) = 99.9/100,
＞x+z = 1/10000,
＞x/(x+y) = r.
＞この r の値が知りたい訳です。

仰る意味はわかりました。

ただ、私が引っかかるのは

＞検査の感度(精度)　→　(検査陽性で実際に病気である人の数)/(実際に病気である人の数) = 99.9/100

とは思っていないのです。

仰る通り、「検査精度」という言葉は曖昧です。

私なりに検査の正しさを数値化するとしたら
(検査陽性で実際に病気である人の数)/(検査陽性である人の数) = 99.9/100
(検査陰性で実際に病気ではない人の数）/（検査陰性の数）= 99.9/100
ということだと“私は”認識します。

ですので、検査精度と罹患率は全然別の話なのに同じ土俵で計算してしまっているのではないか？という疑問を持っているのです。

回答No.4

tatata-0000

全く別のレイヤーの話ということで合ってるでしょうね。
くるみは99.9％という数字を「（1万人に）10人には間違った判定が下る。」という検査精度の問題と、「本当に病気なのは1万人にひとり。」という実体的事実の問題を混ぜこぜにしてしまっています。

診断を受けた全員が「難病」の認定を受けたんでしょうか？たぶんそうではありません。「難病ではない」という認定を受けた人もたくさんいます。検査を受けた人が10000人いたとしたら、（10000人に1人の難病ですから、）たぶん難病の認定を受けた人はその中でたった1人だけでしょう。それが「一万人に一人の難病」の意味です。

検査精度の話が出てくるのはその後です。高良君はすでに「難病」の診断を受けました。「その診断が間違っている率が0.1％あるけどね」というのが「検査精度99.9％」の意味です。
たぶん彼は難病です。ただし、10000人に1人が「難病」の認定を受けますが、その難病認定を受けた人間のうち、1000人に1人は認定が間違っていて、実際は「難病」ではないです。ですから1000万人に1000人いる「難病認定者」のうち、1人は実際は難病ではないが、999人は検査結果どおり「難病」であるというのが、99.9％の意味と考えるべきです。

要は数学ではなくて国語の問題なんですよ。数学ガールとか言ってますが、くるみは実際はトンデモガールであり、単なるアホの子です。私もこのドラマが始まる前は、確率とかを中心に、「常識」とは違う意外な数学的事象を紹介しながら、数学的に社会現象を分析して事件を解決するようなお話なのかなと思っていたんですが、ポーカーのエピソードも結局「いかさまがあるから数学的分析は役に立たない」という方向で使われていることからしても、オタクガールが一般人には意味がよくわからない（「車を奪われた人が共犯者だ」とか、「（恣意的に数列を解釈して）暗号を解読した」とか、）ことを言いながら、直感的に事件を解決するだけの話になるようですね。
橋本愛はかわいいからそれでいいんです。次回もどんなトンデモ話が出てくるのかとても楽しみです！

お礼

ご回答ありがとうございました。
A No.7さんのお礼にまとめて見解を述べます。

回答No.3

alice_44

どーなんでしょうね。
もともと「検査精度」という表現が意味不明な言い方なので、
どーとでも解釈することはできそうですが…

(検査陽性で実際に病気である人の数)/(検査陽性の人の数)
(検査陰性で実際に病気ではない人の数)/(検査陰性の人の数)
は、前記計算の如く、
検査対象となる人達の中での有病率によって
値が変わってしまうため、検査法固有の定数ではありません。

特異性と感度は、対象によらない検査法固有の値であること、
実験から算出するのが容易なことから、検査の正確さを表す
指標として日常よく使われています。「精度」という表現が
これらを指すとすれば、件の 数学girl の計算は概ね正しい
ということになります。

「精度」が (検査陽性で実際に病気である人の数)/(検査陽性の人の数)
を指すとすれば…　最初から、計算するまでもありませんが。

お礼

ご回答ありがとうございました。
A No.7さんのお礼にまとめて見解を述べます。

回答No.1

since_1968

病気である確率が１／１００００人と１／１０００人では
査精度の確率の99.9％の結果の意味がかわるとおもいますが

１／１００００人場合は
10,000人検査し、正しい結果が出て9,990人が陰性とされた場合

１／１００００人の場合は、不確定な１０人中１人
１／１０００人の場合は、不確定な１０人中１０人
の可能性あるってことだとおもいますけど。

お礼

ご回答ありがとうございました。
A No.7さんのお礼にまとめて見解を述べます。

補足

ご回答ありがとうございます。

その病気にかかるのは全人口中1万人にひとり、という設定です。
私の説明のどこに1/1,000人というのがあるのでしょうか？

申し訳ありませんが、そのあとのご説明も私には理解できません。