物理について

質問

(1)-1<=x<=1に対して形状y(x)=a*cosh(x/a)を図示し、h=y(1)>aを示せ。
形状y(x)=a cosh(x/a)の中央たわみを、s=h-aで定義する。ｈとはh= y(1)=a*cosh(1/a)です

(2)0<sを満たす中央たわみが与えられたとき、方程式、sx+1=cosh(x)は、ただ一つの正の解r(s)をもつことを示せ。

(3)s→+0のときr(s)→0となることを示せ。さらにs→∞ならr(s)→∞となることを示せ。また、r(s)はsの増加関数であることを示せ。

(4)自由につり下がったケーブルの均一な重量分布が0.2ポンド/フィート(-1<=x<=1)であって、s=0.3フィートであるとする。このとき、水平張力Hはいくらか。

と言う問題なのですがどうやって解けばいいのかわかりません。
数学が好きな私ですがお手上げ状態です
どうか皆様の力をお貸しください

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

>テーラー展開したらなぜ明らかなのか分かっていません
-∞～∞に変化する単調増加関数の和は
-∞～∞に変化する単調増加関数です。

問は単調増加関数の性質そのものです。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

>ニュートン法について調べたのですが
>私にはどうといたら良いのかわかりませんでした。

解きたい方程式を f(x)=0 とすると
変数Xの初期値を適当に決め

X'←X-f(X)/f'(X) ( f'(x)=df(x)/dx )
X←X'

を繰り返すと、Xが解に近づいて行くと
いうものです。簡単なので普通の電卓でも
出来ますが、最近は標準装備している
関数電卓や、スマホのアプリが
あり、お手軽にできるようになりました。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

>１）は真偽を確認するということでしょうか？

cosh はテーラー展開すると

coshx = 1 + x^2/2! + x^4/4! +・・・・・

なので 1) は明らかです。

s= (coshx-1)/x = x/2! + x^3/4! +・・・・・

なので 2), 3) も明らか。

お礼

回答ありがとうございます。
質問なのですが2)の問題でもし、r(s)の式にs=10を代入して計算するみたいなのが出たらs=x/2! + x^3/4! +・・・これをどう使ったら良いのでしょうか？

3)をもう少しヒントお願いします

すみません根本てきにテーラー展開したらなぜ明らかなのか分かっていません

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

>調べた結果ｓなんて出てこないので・・・

これは懸垂曲線の「たるみ」(上下の差)だと思います。

普通は両端の高さー中央の高さですね。

普通紹介されているのは x=±L/2 の場合ですが。ここでは　x=±1　
にしているのでしょう。

aはカテナリー数と呼ばれるもので、水平張力(中央の張力)を単位長さあたりの
ロープにかかる重力で割ったものです。次元は長さです。

a=H/wg (H: 水平張力。w: 単位長さあたりの質量, g: 重力加速度)
H=awg (水平張力は長さaのロープにかかる重力と同じ)

ここでは長さの単位をフィート、重さの単位をポンド重とすると

s = h - a = a(cosh(1/a)-１)=0.3　-> a=1.71 フィート (ニュートン法で計算しました)

張力は H = awg = 1.71 x 0.2 = 0.342ポンド重　かな

間違っていたらすいません。

お礼

ありがとうございます
答えがあってるのでこのやり方でいいと思います。
ニュートン法について調べたのですが私にはどうといたら良いのかわかりませんでした。ニュートン法以外のやり方はないのでしょうか？
出来ましたらニュートン法やり方を教えてください

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

1) θ≠0⇒coshθ>0 を使う。
2) s = (coshx-1)/x と解き、 右辺をテーラー展開。
3) 2)がとければこれも自動的に解ける。
4) 懸垂(カテナリー)曲線で検索しましょう。ヤードポンド法は嫌い(^^;

お礼

回答ありがとうございます
１）は真偽を確認するということでしょうか？
４）は調べてみました。ただどのように当てはめていいのかわかりません。調べた結果ｓなんて出てこないので・・・
すみません無知なもので出来ましたらもう少し詳しく書いてもらえるとありがたいです
よろしくおねがいします