統計 定理の証明

質問

h(a,b)=nΣi=1{y_i-(ax_i+b)}^2を最小にするaとbの値は、a=r(S_y/s_x),b=-r(S_y/S_x)(xの平均)+(yの平均)

ただし、S_x,S_yはそれぞれX,Yの標準偏差、rは相関係数である。

という問題で、
展開して平方完成して、最小値を求めようと思うのですが、

Σ{(y_i)^2-2(y_i)(ax_i+b)+(ax_i+b)^2}
=nΣi=1{(y_i)^2-2aΣ(x_i)(y_i)-2bΣ(y_i)+a^2(Σx_i^2)+2abΣ(x_i)+nb^2}

となって、これを
(nΣx_i^2){a-(?)}^2+?(b-?)^2
の形にしたいのですが、目標のa=,b=の形になりません。。。正しい解答を教えてください。

回答No.1

at9_am

もっと簡単に、微分して０とおけば良いと思いますよ。

h(a,b) = Σ{y_i-(b+ ax_i)}^2 , i=1,...n
から
-2Σx_i{y_i-(b+ax_i)} = 0 ...(1)
-2Σ{y_i-(b+ax_i)} = 0 ...(2)
を解いて、(2)から
b = y~ - a x~
となります。ただしy~,x~はそれぞれ平均とします。

これを(1)式に代入すると
Σ(x_i y_i - x_i y~) + aΣx_i(x_i- x~) =0
となります。したがって
Σ(x_i y_i - x~y~) = Σ(x_i - x~)(y_i - y~)
= r * (Sx Sy)
Σx_i(x_i- x~) = Σx_i^2- (x~)^2 = Vx = Sx^2
から
a = r (Sy/Sx)
b = b = y~ - r (Sy/Sx) x~
となります。