懸垂線の問題

質問

カテナリー曲線を調べてみると、双曲線関数で表されるとあり、
Y=a cosh(X/a) やY=a cosh(X/a)-1
等の方程式が見つかるのですが、どう使用して下記のy1,y2,y3....y9を求めるのか解りません。
また、0X,0Y,L,lの値が変わった時の求め方も教えていただければ幸いです。

回答No.6

nag0720 · ベストアンサー

＃３の式にミスがありました。

Y=a*cosh(b/a)-a*cosh((X-b)/a)=-2a*sinh(X/(2a))sinh((X-2b)/(2a))
なので、
b=X/2+a*sinh^(-1)(Y/(2a*sinh(X/(2a))))
となります。

これをもとに、a,b,cを求めると、
a=34135.5
b=27209.24
c=-38566.1

Xを10等分したときのyの値は、
y1=6135.2
y2=5308.8
y3=4520.0
y4=3768.2
y5=3052.7
y6=2373.0
y7=1728.4
y8=1118.4
y9=542.4

お礼

ご丁寧に、ありがとう御座います。

私はまだ、a= にたどりついておりません...

補足

No.3の
(1)(2)より、
Y=a*cosh(b/a)-a*cosh((X-b)/a)=-a*sinh(X/(2a))sinh((X-2b)/(2a))
sinh((X-2b)/(2a))=-Y/(a*sinh(X/(2a)))

回答No.5

stomachman

ANo.4へのコメントについてです。

> これは、仮にxiが等間隔として

「これは」とおっしゃるのは放物線の話のことですか？

> x3,x7,x9にそれぞれ加重mが掛った時

　って、なんでその3つをお選びになるのかさっぱり分かりません。

> y1,y2...y9の変化

　変化については何も言っていません。放物線の話の場合、等間隔の全ての縦線（吊り橋では、橋桁をぶら下げているワイヤーロープに相当しますね）に全部同じ荷重（= 橋桁の質量÷縦線の間隔）が掛かった状態で釣り合って静止しているという状況。これは、点(xi, yi)に掛かる力のベクトルの合計が、どれも丁度0になっている時に生じます。つまり、橋桁をぶら下げているワイヤーロープが全部鉛直になって静止している、そういう(xi, yi)の話です。

> 計算式をご存知でしたら

　何を計算する計算式？

回答No.4

stomachman

懸垂線の説明は既に出ているようですから、もしこれが構造力学の話であるなら、という仮定で余談を書いてみますと：
　xi (i=0,1,…)が等間隔であって、全ての鉛直な線分((xi, yi)から((xi,0)への)に掛かる過重がどれも同じになるようにすると、x1, x2, …の間隔を→0としたとき、そこにできる曲線は懸垂線ではなく、放物線になります。吊り橋で見られる形です。一方、懸垂線が現れるのは、点(xi, yi)が隣り合う点と等間隔である場合に上記の線分に掛かる過重がどれも同じになるという条件で点の間隔を→0としたとき。チェーンだけのネックレスで見られる形ですね。たしか「我が輩は猫である」に「遊女の首吊り」の話として出てきた。

補足

これは、仮にxiが等間隔としてx3,x7,x9にそれぞれ加重mが掛った時のy1,y2...y9の変化とゆうことでしょうか？計算式をご存知でしたら教えて下さい。

回答No.3

nag0720

l（小文字のエル）は見にくいので、dとします。

X=10000、Y=7000、L=√(X^2+Y^2)、d=3L/100

カテナリー曲線の式を、
y=a*cosh((x-b)/a)+c
とすると、
Y=a*cosh(b/a)+c　　　　　　(1)
0=a*cosh((X-b)/a)+c　　　　(2)

直線dの式は、
y=(X/Y)(x-X/2)+Y/2

直線dとカテナリー曲線との交点を(p,q)とすると、
(X/2-p)^2+(Y/2-q)^2=d^2　　　　(3)
q=(X/Y)(p-X/2)+Y/2　　　　　　　(4)
q=a*cosh((p-b)/a)+c　　　　　　(5)

未知数がa,b,c,p,qの５個、方程式の数も５個なので、一応解けるはずです。

(1)(2)より、
Y=a*cosh(b/a)-a*cosh((X-b)/a)=-a*sinh(X/(2a))sinh((X-2b)/(2a))
sinh((X-2b)/(2a))=-Y/(a*sinh(X/(2a)))

b=X/2+a*sinh^(-1)(Y/(a*sinh(X/(2a))))
c=Y-a*cosh(b/a)

(3)(4)より、
(X/2-p)^2+(X/Y)^2(p-X/2)^2=d^2
これを解くと、
p=X/2-dY/L
q=Y/2-dX/L

これらを(5)に代入すると、未知数aだけの方程式になるので、あとは数値計算の手法を使ってaを求めればいいでしょう。

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

nag0720

＞具体的には、添付図の条件で懸垂線の斜面を作りたいので、その時の束の位置をx1,x2,x3...x9とした時の束の高さy1,y2,y3...y9を求めたいのですが？

それは分かっています。
l（小文字のエル）は何の長さなのかを言葉で説明してください。
図示しただけでは、正確な意味が分かりませんので。

補足

そうですね。説明がたりませんでした。
l(小文字エル)は、Ｘ～Ｙの長をＬとしたとき、Ｌの中点から直角に3Ｌ/100下った位置です。
宜しく、お願いします。

回答No.1

nag0720

始点と終点の異なるカテナリー曲線も、標準的なカテナリー曲線の一部になっています。

添付図で言うと、赤いカテナリー曲線をＸ点からさらに右へ伸ばしていくと、やがては上向きになり、さらに伸ばせばＹ点と同じ高さになります。

標準的なカテナリー曲線を(b,c)だけ平行移動した式は、
y=a*cosh((x-b)/a)+c
なので、これに条件を当てはめてa,b,cを求めればいいでしょう。

ところで、lは具体的に何の値？
言葉で説明できませんか？

お礼

早速の回答ありがとうございます。

具体的には、添付図の条件で懸垂線の斜面を作りたいので、その時の束の位置をx1,x2,x3...x9とした時の束の高さy1,y2,y3...y9を求めたいのですが？

(b,c)が(xn,yn)となるのでしょうか？