関数の増減

質問

微分についての問題なのですが
f(ｘ)＝1/(ｘ^2+3)を、増減を調べて、増減表を作成して極致、変曲点の存在を求めよというものなのですが。
ｆ`(x)＝2ｘ/(x^2＋3)^2
ｆ゛(x)＝(6x^2－6)/(x^2+3)^3
までは求めることが出来たのですが、ここから先の極値の出し方を参考にするものもなく、行き詰ってしまいました。どうしたらこの先の極値や変曲点を求めることが出来るでしょうか？数学まったく駄目なもので、出来るだけ詳しく教えてください。お願いします。

回答No.4

s_t_a_ · ベストアンサー

既に回答されていることから解けるとはおもうのですが、混乱されているようなので、増減表と極値について、とりあえず。

とりあえず１回微分した結果を見てみてください。

f'(x)=-2x/(x^2＋3)^2

ということは、分母は２乗なので常に正ですよね？
なので、分子だけみればf'(x)の符号が分かります。

増減と極値というのは、
f'(x)>0でf(x)は増加
f'(x)<0でf(x)は減少
f'(x)の符号変化する場所が極値、なので、

増減表は、

x　　 | 　 | 0 | 　|
f'(x) | ＋ | 0 | － |
f(x)　|増加|1/3|減少|

x=0で極小値1/3

となります。

増減と極値を調べるには1回微分、
凹凸と変曲点を調べるには2回微分です。

変曲点と極値は別物ですから、「変曲点が存在するから極値が…」というご質問は成り立たないことになります。

上の増減表を元に、曲線の凹凸に関する表を書いてみてください。
f''(x)>0で下に凸
f''(x)<0で上に凸となります。

もし分からなければ、途中まで書いたものを記入してもう一度質問してください。頑張ってください。

お礼

こんにちは、初めまして。
なるほど、かなり詳しく書いていただきありがとうございます。大変参考になりました。
これなら、このままグラフを書くところまでいけそうです。ありがとうございました。

回答No.5

noname#114912

見る人によっては増減表が崩れるかもしれません。この関数を例にとって説明します。増減表の書き方は
┏━━━┳━┯━━┯━┯━━┯━┯━━┯━┓
┃　　x 　 ┃…│ -1　 │…│　0 │…│　 1 │…┃
┠―――╂―┼――┼―┼――┼―┼――┼―┨
┃f'(x)　　 ┃＋│ ＋ │＋│　 0 │－│ － │－┃
┠―――╂―┼――┼―┼――┼―┼――┼―┨
┃f''(x)　　┃＋│ 0 　│－│ － │－│ 　 0 　│＋┃
┠―――╂―┼――┼―┼――┼―┼――┼―┨
┃ f(x)　　┃　 │1/4　│　│1/3　│　│1/4　 │ 　┃
┗━━━┻━┷━━┷━┷━━┷━┷━━┷━┛
のようにf'(x),f''(x)が+,-の部分、極値、変曲点をとるx,またそのときのf(x)の値を書きます。空欄には矢印が入ります(方向は考えてみてください)。あとはこの表を用いて極値、変曲点を考えてみてください。

お礼

ありがとうございます。
書き方がわかったおかげで、取っ掛かりがつかめましたこれで頑張ってテストに望めます。
ほんとうにありがとうございました。

回答No.3

debut

＞ｘ＝0となるのでしょうか？
　　そうです。
＞そうなった場合のYの値が増減の値になるのでしょうか？
　　このときのYというかf(0)の値が「極値」になります。
　　増減はx＜0と0＜xでf' (x)の正・負を調べて決定します。
　　この場合、x＜0でf' (x)は正(f' (x)の分子が-2xなので)だから
　　f(x)は増加、0＜xでf' (x)は負なので減少となります。

お礼

＞この場合、x＜0でf' (x)は正(f' (x)の分子が-2xなので)だから
　　f(x)は増加、0＜xでf' (x)は負なので減少となります。
またも、早い回答ありがとうございます。
そうすると、ここで求めた値は(1,1/4)(-1,1/4)となりますのでこれは変曲点になるのではないでしょうか？
では、これが変曲点になる場合は、極値の存在はありうるのでしょうか？
増減表ができないものなので、ちょっと、そこまでわからないのですが？
教えていただけますでしょうか？

回答No.2

debut

f'(x)=-2x/(x^2+3)^2ですよね。
f'(x)=0から、分母は常に正なので、分子=0からxの値を求めて増減など
を調べればいいです。

変曲点も、分子=6(x^2-1)=6(x+1)(x-1)=0からxの値を求めればいいです。

お礼

早速の回答いただきありがとうございます。
ですが、
f'(x)=0の場合分子の2ｘ＝0
ｘ＝0となるのでしょうか？そうなったばいのYの値が増減の値になるのでしょうか？

回答No.1

noname#114912

この場合極値(極大値、極小値のどちらか)の出し方はf'(x)=0を満たすx,変曲点の出し方はf''(x)=0を満たす点です。極大値や極小値はf'(x),変曲点の様子はf''(x)の符号の様子によって変わります。あとは増減表を書いて極大値、極小値、変曲点を求めてください。増減表の書き方がわからなければお礼の所に書いてください。

お礼

質問への回答ありがとうございます。
そうなんです。・・・
増減表も書き方がわからなくて困っているのです。・・・
書かなかった私も悪いとは思いますが、すみません。
教えてください。