関数の値の増減と極値についてです。

質問

極値でグラフｙの増減が必ず変わり、極値付近の符号を調べるには実際に値を代入して確かめるんですか？それともｆ’（ｘ）＞０、ｆ’（ｘ）＜０を調べるんですか？

でも画像の問題ではｆ’（ｘ）＞０、ｆ’（ｘ）＜０を調べない方が早いですね（ｘ≠０かｘ＞０かｘ＜０で場合分けする場合がありますね）？

回答No.4

info222_ · ベストアンサー

(1)
y=f(x)=(x^2+3)/(2x)=(x+3/x)/2 (x≠0)
y'=f'(x)=(2x^2-(x^2+3))/(2x^2)=(x-√3)(x+√3)/(2x^2)
y'=0とするxの値（停留点）：x=±√3
f(-√3)=-√3, f(√3)=√3
x<-√3で f'(x)>0, -√3<x<0でf'(x)<0なのでx=-√3の前後でyは増加から減少に変わる。したがって x=-√3のときyの極大値=-√3をとる。
0<x<√3で f'(x)<0, √3<xでf'(x)>0なのでx=√3の前後でyは減少から増加に変わる。したがって x=√3のときyの極小値=√3をとる。
増減表とグラフは省略。自分でお書きください。

[別解１]
y=f(x)=(x^2+3)/(2x)=(x+3/x)/2 (x≠0)
f(-x)=-(x^2+3)/(2x)=-f(x) なので
y=f(x)のグラフは原点対称。
したがってx>0の場合を考えて、x<0の場合は原点対称性を使って考えればよい。
x>0の場合
相加平均≧相乗平均の関係を使って
y=f(x)≧√(x(3/x))=√3
等号は x=3/x すなわち　x=√3 のとき成立。
x=√3のとき極小値y=√3（最小値） をとる。

x<0のときは原点対称性より
x=-√3のとき　極大値ｙ＝-√3 をとる。
以上をまとめて（答）とすれば良い。

[別解2] xの実数条件を使うやり方。
y=(x^2+3)/(2x) (x≠0)　

2yx=x^2+3
x^2-2yx+3=0
ｘの２次方程式のxの実数条件より
判別式D/4=y^2-3=(y-√3)(x+√3)≧0
y≦-√3, y≧√3
極大値y=-√3をとるとき　(x-√3)^2=0より　x=√3
極小値y=√3をとるとき　(x+√3)^2=0より　x=-√3

以上、3通りの解法を示しました。

(2),(3)についても同様の３通りの解法で解けますのでやってみて下さい。

お礼

ありがとうございます。
凄いですね。バリバリですね。
まさかそういう解き方があるとは思いませんでした。
別解でない解法にて、ｙ’は分母にてたまたま（出題者が意図して）変数の二乗（⇒必ず正）が来ているので分母でストレートに割れ、ｙ’＞０、ｙ’＜０を場合分けせずに求めれますね。

回答No.3

asuncion

極値を求める問題ですから、
どうしても微分はしなければならないはずです。
問題文の下に書いてある
商の微分公式を使ってみようかな
というお気持ちはありますか？

お礼

ありがとうございます。
はい、あります。

回答No.2

asuncion

＞二通りの解き方があったんですね。

当方は、そういう回答をした覚えはありません。
複数の解き方があるかどうかは、ご自分で探してみてください。

お礼

ありがとうございます。
そう示唆したのかと思ってました。

回答No.1

asuncion

＞でも画像の問題ではｆ’（ｘ）＞０、ｆ’（ｘ）＜０を調べない方が早いですね

何ともいえません。
複数の解き方を思いついたのであれば、
両方で解いてみて、どちらが早いかを
ご自分で判断なさるのがよいかと。

お礼

ありがとうございます。
二通りの解き方があったんですね。
実際の値を代入して増減表を求める場合、凄く感覚的になりますね（本当に全ての場合でいえるか不安ですね。）。