行列の証明問題です。

質問

以下の問題分かりません。よろしくお願いします。
3次の正方行列Aが全て異なる固有値λ1,λ2, λ3をもつとする。Aの固有方程式をf(λ)=(λ-λ1)(λ-λ2)(λ-λ3)としたとき、f(A)=(A-λ1E)(A-λ2E)(A-λ3E)とすれば、f(A)=0が成立する。
(1)A^n=aA^2+bA+cE (n>3)なる実数a,b,cが存在することを示せ。
(2)a,b,cが満たすべき連立一次方程式を求めよ。
(3)A^nをA, E, n, λ1, λ2, λ3を用いて表せ。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

登場する行列は Aと単位行列：Eだけなので、普通の多項式と同等に扱うことができます。

で、与えられている f(A)＝ 0の式から「両替の式（次数下げの式）」を得ることができます。
展開して、移行するだけです。
それを繰り返すことを考えればいいだけです。

ところで、「実数a,b,c」は nを用いた数列ではないですか？

(1)で示した式に Aを乗じることで漸化式を得ることができます。
そして、その漸化式を解くことで、(3)が求められます。

計算自体は高校の数列の範囲で求められます。

　λ1+λ2+λ3＝ p,
　λ1λ2+ λ2λ3+ λ3λ1＝ q,
　λ1λ2λ3＝ r

とでも置いた方が解きやすいかと思います。

お礼

ありがとうございました。