行列の問題です

質問

行列Ａ＝「０　－１
　　　　　　１　－１」について、次の各問に答えよ。
（１）Ａのｎ個の積Ａ＾ｎを求めよ。ただし、ｎは自然数とする。
（２）a＞＝０、ｂ＞＝０、ｃ＞＝０、ｄ＞＝０とする。
行列Ｂ＝「a b　　　がＡ＾２Ｂ＝ＢＡ, B^2=「１　０　を満たすとき、Ｂを求めよ。
　　　　　　　 c d」　　　　　　　　　　　　　　　０　１」
（３）（２）で求めたＢに対して、ＢＡ＾２ＢＡ＾２５ＢＡ＾１９９９を求めよ。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

(1)
(Aのk乗) を k=2,3,4,… について順に計算してみると、
k=3 あたりで何かイイコトが起こる。何かって？
それは、やってみてのお楽しみ。やってね。
イイコトが起こる理由は、A を対角化すれば解るが、
対角化やジョルダン標準形の知識がなくても、
実際にやってみれば発見できる。あるいは、
ケイリー・ハミルトンの定理を知っていれば、
そこからイイコトを発見してもいい。
ともかく、(Aの3乗) を求めれば、(1)は解ける。

(2)
地道に成分計算。
AAB=BA のほうを成分計算してみると、
a,b,c,d についての連立一次方程式であって、
四個の未知数のうち三個が、残り一個の一次式
で表されることが解る。それを BB=E へ代入
すると、最後の未知数も決まって、B が求まる。

(3)
上記(1)(2)に与えられた条件式を使って、
与式の A,B の次数を下げてゆくと、結局
=AB となる。AB≠BA であることには注意して変形すること。
最後に、A,B を具体的な成分で書いて
積を求めれば、完了。

ヒントに沿ってやってみたら、途中まででも
補足に書いてみてください！

補足

全然わからないので解説お願いできますか？