行列の問題です、よろしくお願いします。

質問

A=(a b ; c d) （←2次の正方行列をこのように表すとします)

(1)行列Aが固有値λ1、λ2 (λ1≠0、λ2≠0)を持つとするとき、ケーリー・ハミルトンの式を用いて、
tr(A)=λ1+λ2、 det(A)=λ1・λ2 となることを示せ。 (λ1の"1"などはλの添え字だとします)

(2)上記の条件の下で、(λ1-λ2)・A＾n=((λ1)＾n-(λ2)＾n)・A-((λ1)＾n・λ2-λ1・(λ2)＾n)・E
が成り立つことを示せ。ただしnは正の整数とする。 ( "＾n" はn乗を、"E"は単位行列を表しています)

という問題がよくわかりません。

(1)は、僕なりの解としては、ケーリー・ハミルトンを用いなければ

A-λE=(a-λ b ; c d-λ)
det(A-λE)=(a-λ)(d-λ)-bc
=λ＾2-(a+d)λ+ad-bc=0
この方程式の2解はλ1、λ2なので、解と係数の関係より
λ1+λ2=a+d=tr(B)
λ1・λ2=ad-bc=det(B)

としましたが、ケーリー・ハミルトンを用いるとどのようになるのでしょうか？

(2)は、全然方針が思い浮かびません…どのように解くのでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.1

specificH

(2)の解き方はきっと数学的帰納法って言うのを使うんです．．
ケーリーハミルトンの式はn=2にしたものと一致しますよね．

(A^2) - Tr[A] * A + det[A] * E =0 (ケーリーハミルトン)

あとは、n=kで成り立つと仮定してn=k+1で成り立つ事を示せばよいのです．（このときケーリーハミルトンまた使うと早いです．）

(1)の理想的な回答はちょっと思いつきませんでしたよ．