三重積分の式の解法

質問

多重積分の式の展開の仕方が解らなくて困っています。
式は画像として添付しました。宜しく、お願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

逐次積分とは、一変数の積分を繰り返すこと。
または、繰り返したもののこと。
重積分(多変数の積分)は、逐次積分として計算
することで、計算できるようになる。
そもそも、∫∫∫xdxdydz という書き方自体が、
逐次積分の書き方を借りて、重積分を表現している。

三重の逐次積分を、内側から順に計算すればよい。
一番内側は ∫xdx だが、これの値は定数になる。
二番めの ∫∫xdxdy を積分するとき、
定数を積分記号の外へ括り出すことができて、
∫∫xdxdy = (∫xdx)∫dy.
これの値も定数になっているので、
一番外側の積分を計算するとき、やはり
積分記号の外へ括り出すことができて、
∫∫∫xdxdydz = ((∫xdx)∫dy)∫dz.
こうしてしまえば、それぞれの ∫ は
簡単に計算できることと思う。

お礼

詳しく丁寧なご回答有難うございました。

回答No.2

info22_

この3重積分のそれぞれの積分の上限と下限が全て定数であり、被積分関数も変数ごとに分離できるため、それぞれの積分変数の積分の積に分解できます。

∫∫∫[D] xdxdydz,D={(x,y,z)|2≦x≦7,3≦y≦8,3≦z≦5}
=(∫[3～5] dz)*(∫[3～8] dy)∫[2～7]xdx
=(5-3)*(8-3)*([x^2/2][2～7])
=2*5*(49-4)/2
=225

と積分できてしまいます。

回答No.1

Tacosan

「逐次積分」というものはご存知でしょうか?

補足

逐次積分というのは知りません。