定積分の解法について

質問

定積分の問題が解けずに困っております。

u/u1=(y/δt)^1/7*(1-y/δt)^4・・・・・(1)
(θ-θ∞)/(θw-θ∞)=1-(y/δt)^1/7・・・・・(2)
TD=∫δt0 u*θdy/∫δt0 udy・・・・・(3)
TD≒0.75*θ∞+0.25*θw・・・・・(4)

(3)式に(1)(2)式を代入し積分すると(4)式になるはずですが、
何回計算してもならないのです。
お解りになる方、ご指導よろしくお願いいたします。

回答No.2

Umada · ベストアンサー

mmkyさんの指摘の通り積分区間が必要です。「δt0」と書いてあるのが「積分区間、0からδtまで」の意味でしょうか?(「δt0」だと一つの数にしか見えないですよ)　以下はその仮定の素に解きます。
またθw、θ∞、u1、はyについて定数であると仮定します。

また以下は特記のない限り「積分区間は0からδtまで」とし、定積分ですが単に積分記号∫だけを記します。

u/u1=(y/δt)^(1/7)×(1-y/δt)^4　　　(1)
(θ-θ∞)/(θw-θ∞)=1-(y/δt)^(1/7)　　　(2)
TD=∫(u×θ)dy/∫udy　　　(3)

(2)を変形すると
θ=(θw-θ∞){1-(y/δt)^(1/7)}+θ∞
　=(θw-θ∞){-(y/δt)^(1/7)}+θw　　　(5)
となります。

これを(3)に代入すると
　　∫[(θw-θ∞){-(y/δt)^(1/7)}+θw]u dy
TD=---------------------------------------
　　　　　　　　　　∫u dy
定数を積分の外に出して
　　　(θw-θ∞)∫{-(y/δt)^(1/7)}u dy
　=--------------------------------------+θw　　　(6)
　　　　　　　　　∫u dy
を得ます。よって問題の本質は
∫u dy　　　(7)
∫[u (y/δt)^(1/7)] dy　　　(8)
を根気よく計算することに辿り着くことがお分かり頂けると思います。

まず、(7)から。
∫u dy
=u1∫{(y/δt)^(1/7)×(1-y/δt)^4}dy
=u1∫{Z^(1/7)×(1-Z)^4}δt dy　　←y/δt=Zの変数変換を行った
=δt u1∫{Z^(1/7)-4Z^(8/7)+6Z^(15/7)-4Z^(22/7)+Z^(29/7)} dy　←δtは定数なので積分の外に出した
=δt u1[(7/8)Z^(8/7)-(28/15)Z^(15/7)+(21/11)Z^(22/7)-(28/29)Z^(29/7)+(7/36)Z^(36/7)] z=0→1
　　　　　100485-214368+219240-110880+22330
=δt u1×-----------------------------------
　　　　　　　　　　　　114840
=δt u1×16807/114840　　　(9)

次に(8)。
∫[u (y/δt)^(1/7)] dy
=u1∫{(y/δt)^(2/7)×(1-y/δt)^4}dy
=u1∫{Z^(2/7)×(1-Z)^4}δt dy　　←y/δt=Zの変数変換は同じ
=δt u1∫{Z^(2/7)-4Z^(9/7)+6Z^(16/7)-4Z^(23/7)+Z^(30/7)} dy
=δt u1[(7/9)Z^(9/7)-(28/16)Z^(16/7)+(42/23)Z^(23/7)-(28/30)Z^(30/7)+(7/37)Z^(37/7)] z=0→1
　　　　　119140-268065+279720-142968+28980
=δt u1×-----------------------------------
　　　　　　　　　　　　153180
=δt u1×16807/153180　　　(10)
これを(6)に代入すると
TD=[-(θw-θ∞)×(16807/153180)]／(16807/114840) + θw
=-(θw-θ∞)×(114840/153180) + θw
≒-0.7497×(θw-θ∞) + θw
=0.2503θw+0.7497θ∞　　　(11)
となってお求めの答えになります。
(念のためご自身でも計算をチェックしながら読んでいただければ幸いです)

お礼

解答例を参考に自分でも計算してみましたが、
その通りになりました。

冬休み中、ずっと悩んでいた問題で、
こんなに詳細に教えていただき、
とっても感謝しております。
ありがとうございました。

回答No.1

mmky

TD=∫u*θdy/∫udy・・・・・(3)
定積分でしたら積分範囲が必要ですね。
ｙの範囲は？

補足

ご指摘ありがとうございます。
私の書き方が不適切だったようで、申し訳ありません。

積分の区間は、「0からδtまで」なのです。
このような場合、どのように書けばよいのかわからず、失礼いたしました。

TD=∫(0からδt)u*θdy/∫(0からδt)udy・・・・・(3)
とか、書けばよろしいのでしょうか？
この件も含めて教えていただけると嬉しいのですが。
よろしくお願いいたします。