分数を積分すると、どうして対数が出てくるのでしょうか？

質問

微分方程式の教科書を読んでいると、

被積分関数
1/x（x^nで、n=-1のとき）　
積分関数
logex+C

という、公式のようなものが出てきました。ちょっと表記がわかりにくいと思いますので、添付画像や、この公式らしきものを紹介しているリンク先
http://naop.jp/text/3/seki2.html
等もご覧いただきたいのですが、どうして1/xを積分すると、logex+Cが、出てくるのでしょうか？
似たような質問も以前、あったみたいです。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2626092.html
でも私は、哲学的な意味ではなく、どのようにして1/xからlogex+Cを導き出せばよいのか、間の式の展開がどうなっているのかが知りたいです(>_<)
皆様のお力をお借しいただければ幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#1です。

>dx/dy=lim《h→0》x(e^[y+h])-x(e^y)/h
間違い。
dx/dy=lim《h→0》(e^[y+h])-(e^y)/h
　　=(e^y)lim《h→0》{(e^h)-1}/h = e^y

lim《h→0》{(e^h)-1}/h =1　
の導出法は次のURLに載っていますので参照ください。
URLでのxは h と読み替えてください。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/other/kyokugen/syoumei/henkan.cgi?target=/math/category/other/kyokugen/syoumei/kyokugen-frac(e%5Ex-1)(x).html

お礼

そうですよね、微分の定義
http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/bourdoki/bangaihen/xx/node93.html
にしたがえば、xは余計でしたね・・・

log(e)=1

というのも、初めて知りました(^_^;)
ただ、自然対数eはまだまだ奥が深そう↓
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1112332526
なので、もう少し探ってみたいと思います。

info22さんのおかげで、(B)→(C)もなんとなく理解でき、スッキリすることができました。
本当にありがとうございます<m(__)m>

回答No.2

arrysthmia

昔の人は、そういうことをコツコツ計算していた訳です。
しかし、そのためには、log とは何か、
exp の逆関数だとすれば、exp とは何か、
まず定義してから始めなければなりません。
これは、哲学ではなく、数学の基本的な事項です。
巾乗を拡張して指数関数を構成する際の
ゴタゴタは、教科書などによく書いてありますが、
ゆきつまろびつ、あまり見通しのよい議論では
ありません。

現代では、逆に、
∫[1～x] (1/t)dt のほうを log x の定義として、
ここから、log の諸性質 (exp の逆関数であるとか、
対数法則 log(xy)=log(x)+log(y) とか。)
を証明してゆくのが、通常です。
そのほうが、単純明快ですから。

お礼

はぁ、すいません内容が高度で、ちょっと私の頭ではついていけないようです・・・「exp」や「逆関数」など、よくわかりませんでして・・・(ToT)
でも、すぐに回答していただき、ありがとうございます(^_^;)

回答No.1

info22

最初に
y=1/x
は　x=0　では未定義ですが、
x<0　や　x>0 の範囲で定義されています。
当然それぞれの範囲で積分が存在します。

また
積分の関数F(x)(原始関数という)を微分すれば被積分関数 f(x) になることも分かりますね。

∫f(x)dx=F(x)+C
f(x)=F'(x)

以上の予備知識のもとで
　x=e^y (x>0)　…(A)
を考える。

(A)をyについてとくと
　y=log(x) …(B)

(A)をyで微分すると
　dx/dy=e^y　…(C)

(A)と(C)から
dx/dy=x

これから　x≠0 なので
(1/x)dx=dy

両辺を積分すると
　∫(1/x)dx=y+C　…(D)

(B)を代入すると
　∫(1/x)dx=log(x)+C

> どうして1/xを積分すると、log(x)+C が、出てくるのでしょうか？
　導き方は分かりましたか？
　ただ、この積分の公式は x>0 に適用できる公式であることに注意下さい。

x<0の場合は
　-x=e^y (x<0)　…(A)'
を考える。

(A)'をyについてとくと
　y=log(-x) …(B)'

(A)'をyで微分すると
　-dx/dy=e^y　…(C)'

(A)'と(C)'から
-dx/dy=-x

これから　x≠0 なので
(1/x)dx=dy

両辺を積分すると
　∫(1/x)dx=y+C　…(D)'

(B)'を代入すると
　∫(1/x)dx=log(-x)+C (x<0)

となります。

お礼

返信が遅くなって本当に申し訳ございません(>_<)
丁寧に回答していただき、ありがとうございます！

しかし、(A)でいきなりつまずいてしまいました(泣)
ですが、似たような例↓
http://hobby_elec.piclist.com/logarithm.htm
を見つけ、「両辺に底がeの対数をとればいいのかな？」と思い、

x=e^y
log(e)x=log(e)e^y
log(e)x=ylog(e)e
log(e)x=y

と、なんとか(A)から(B)を導くことはできました。

ですが、(A)→微分→(C)に関して、ココ↓
http://q.hatena.ne.jp/1163966293
を参照して、xをyで微分しようと試みると、

dx/dy=lim《h→0》x(e^[y+h])-x(e^y)/h

という式が出てくると思うのですが・・・ここから、

dx/dy=e^y　…(C)

を、info22さんはどうやって導いたのかがわかりません(ToT)

差し支えなければ、いつでもかまいませんので、(A)→(C)を導く、微分の展開に関して再度ご教授いただけないでしょうか？
理解力が乏しくてすいませんm(__)m