積分 途中式

質問

積分の問題を解いているところです。
途中式がわからなくて困っています。
画像の矢印を入れたところなんですが何故＋になるのかわからないのです。
私はーになってしまいます。
＋に変わるところを見せて頂けますか？
宜しくお願いします。

回答No.1

sunflower-san · ベストアンサー

この式変形が正しいことをチェックするなら、log(5 -x)を微分してみてはどうですか？
一般に合成関数の微分の法則により、

{ log(f(x)) }'
= f'(x)/f(x)

ですから、(ここで「'」で微分を表すものとします)

{ log(5 -x) }'
= (-x)'/(5 -x)
= -1/(5 -x)

になります。

さあ、もう符号が変わった理由が分かったんじゃないですか？

お礼

ああ本当だ、微分したらその通りになり、その後積分したらすぐに出来てしまいました。
よくわかりました、有難うございました。

回答No.2

info222_

積分変数xは積分範囲が[1,4]であることから1≦x≦4の範囲の値をとることに注意してください。

I=∫[1,4] {-(1/5)(1/x)-(1/5)(1/(5-x))}dx

-1/(5-x)=1/(x-5)とxの前の負号を前に括り出して

=∫[1,4] {-(1/5)(1/x)+(1/5)(1/(x-5))}dx

積分すると絶対値がついて

=[(-1/5)ln(|x|)+(1/5)ln(|x-5|)][1,4]

積分範囲から1≦x≦4 なので |x|=x, |x-5|=5-x より

=[(-1/5)ln(x)+(1/5)ln(5-x)][1,4]

となり指摘の箇所の符号は「＋」となります。

お分かり？

お礼

>積分範囲から1≦x≦4 なので |x|=x, |x-5|=5-x より

あ～こういう考え方をするのですね、よく分かりました。
丁寧に説明して下さって有難うございました。