定積分の式の展開がわかりません(ToT)

質問

微分方程式の教科書に、とある積分の問題があったのですが、どうしても理解できません(>_<)

教科書には「・・・sin(2x)の積分は-cos(2x)/2であることがわかります。・・・」と記載がありますが、なぜそうなるのでしょうか？

添付画像の、(1)から(2)の展開について、ご指導いただきたいです。
よろしくお願いします<m(__)m>

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

置換積分です。

y = 2x と置いて…

∫ sin(2x) dx
= ∫ (1/2) sin(2x) 2 dx
= ∫ (1/2) sin(y) (dy/dx) dx
= ∫ (1/2) sin(y) dy
= (-1/2) cos(y) + C
= (-1/2) cos(2x) + C

後は、積分区間の両端を原始関数に代入して
不定積分から定積分を求めるだけですね。

お礼

はぁ、文系出身でして、かなり難しかったです。
でもarrysthmiaさんのアドバイスでうまくいきました、頭の整理のため、私の式の展開過程もここに記載しておこうと思います(^_^;)

y=2xと置くと、

x=(1/2)y
dx=(1/2)dy

sin(2x)を積分すると、
∫sin(2x)dx

dx=(1/2)dyなので、

∫sin(2x)(1/2)dy
=∫(1/2)sin(y)dy
=(1/2)∫sin(y)dy

∫sin(y)dyは、sinを積分したものみたいですね。これは、

=(-1/2)cos(y)+C
と、-cos+Cになるんですね。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa645444.html

=(-1/2)cos(2x)+C

ここから、定積分の計算をしました。
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku2/sekibunh/teiseki1/teiseki1.htm
に、詳しいやり方が載っていましたので、これに従うと、

={(-1/2)cos(2/π)+C}-{(-1/2)cos(0)+C}
=(-1/2)cos(2/π)+(1/2)cos(0)
=(1/2){-cos(2/π)+cos(0)}

ここでまた躓きましたが、
2/π=90°、cos90°=0、cos0°=1
http://www8.plala.or.jp/ap2/suugaku/sankakukansuunoshoho.html
であることを思い出し、

=(1/2)(0+1)
=1/2

と、なんとか理解することができました。
三角関数もわからずに三角関数の微分積分を理解するのが甘かったですね、三角関数を詳しく解説しているサイト
http://shigihara.hp.infoseek.co.jp/sin.htm
とかも見つけたので、まずは三角関数をちゃんと理解
しようと思います(^_^;)

回答No.1

info22

cos(x)の微分は習っていないですか？

習っているなら
-(1/2)cos(2x)を微分してみてください。
sin(2x)
になるでしょう。

なので、sin(2x)を積分すれば
-(1/2)cos(2x)
となるのです。

こんなことでつまずかないようにしっかり三角関数の微積分を復習して下さい。

お礼

回答ありがとうございます。
-(1/2)cos(2x)の微分は難しそうなので、cos(2x)の微分からチャレンジしてみました(^_^;)
微分の定義に従うと、

(cos2x)'=lim(h→0)[cos(2x+h)-cos2x／h]

となり、ここで三角関数の和と差の公式
http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/mathFormula/html/node16.html
と呼ばれるものを用いて、「cosα-cosβ」から「-2sin(α+β)/2・sin(α-β)/2」の変換を試みると、

lim(h→0)[-2sin{(2x+h)+2x}/2・sin{(2x+h)-2x}/2／h]
=lim(h→0)[-2sin(4x+h)/2・sin(h/2)／h]

と、展開することができました。
ここまではうまくいったのですが、ここからどう式を展開していったらよいのかわかりません(>_<)

差し支えなければ、再度ご指導いただければ幸いです。
よろしくお願いします<m(__)m>