楕円積分の式について

質問

実務に楕円積分の利用を考慮しています。数値計算で求める方法は既にエクセルでソフトを作成済みですが、もう少しスマートに求める方法はないかと思います。画像の計算式ですが、積分範囲の｛π/２，０｝は右辺の級数展開式のπ/２に対応することに着目して、積分範囲が｛π/ｍ、０｝であれば、級数展開式のπ/２をπ/ｍに置き換えることは可能でしょうか？
画像の引用元のＵＲＬは下記です。
http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/elliptical/
置き換えの可否だけで構いません。手元には第一種楕円積分と第二種楕円積分の関数をアドインに組み込んであるエクセルファイル（ブック）があるのでこの有効性を確認するために必要というのが質問の背景にあります。

回答No.2

nakaizu · ベストアンサー

楕円積分には第一種、第二種、第三種と第一種完全楕円積分、第二種完全楕円積分、などがあります。参考URLにMathematica の説明ページを挙げておくので見て下さい。
楕円の任意の周の長さは第二種楕円積分で求められます。
御質問の内容は完全楕円積分から楕円積分が求められるかということであろうと思われます。
不可能ではありません。第二種楕円積分をE(φ,k)とすると
E(φ,k)=2φ/π E(π/2,k)+sin 2φ×級数
と書けます。ここで級数はk と sin φの無限二重級数です。各係数は二重階乗で表すことが可能のはずです。
質問の積分の積分区間を0～φにしたものをS(φ)とします。
E(φ,k)をkで級数展開すると係数に S(φ)が出て来ます。(これはすでに御存知のはずです) S(φ)は漸化式(部分積分すると出て来る)によって有限級数で求められますから、代入してゴリゴリ計算すれば出て来るはずです。
φとkの数値がわかっているなら数値積分する方が簡単です。
Mathematica などの専用ソフトには完全でない楕円積分も既に組みこまれていますからそれを利用すると楽です。

参考URL：

http://documents.wolfram.com/v5/TheMathematicaBook/AdvancedMathematicsInMathematica/MathematicalFunctions/3.2.11.ja.html

お礼

ありがとうございました。
どうも結局は、楕円積分を使わずに数値積分などで求めるとよいようです。
某所で楕円弧長と弧角度の相互関係を求めるソフトが発表されていました。
無償のようです。
http://bluesutou.blogspot.com/2008/09/blog-post.html

回答No.1

arrysthmia

可能ではありません。

例えば n=1, m=4 のとき、
左辺 = ∫[0≦θ≦π/4] (sin θ)^2 dθ = π/8 - 1/4,
右辺 = (1 !! / 2 !!) (π/4) = π/8
となって、一致しません。

図の公式の証明を自分でやってみると、
積分範囲が 0～π/2 のときと 0～π/m のときで
何が違うのかが分かります。

お礼

早速のご教示ありがとうございました。
折角頂いたエクセルファイルですが、これでは活用は無重力環境下の振子運動しか使えないような気分です。楕円型のトンネル工事でアンカーを打ち込むポイントを定める工法設計に使えるかなとは思ったのですが・・・。
楕円積分から任意の位置の楕円周長を求めるために楕円積分関数を利用する可能性はないのでしょうか。（これも数値積分で解決済みですが・・・）