複素積分の問題について。
複素積分の問題を解いてみたのですが、手元に答えがないうえに合っているか自信がないので、チェックしていただけると助かります。解法に誤りがあったらどうぞ指摘してください。自分の中では、留数の求め方が怪しいです。
以下、積分の経路Cは原点中心半径8の円で正の向きとします。
(1)∫ 1/sin(z) dz
(2)∫ 1/(1-cos(z)) dz
(3)∫ (1+z)/(1-e^z) dz
(4)∫ tan(z) dz
(1)∫ 1/sin(z) dz
f(z)=1/sin(z) について、f(z) は z=mπ で特異点をとり、特にCの内部では z=0,±π,±2π が特異点となる。
ここで各点における留数を求めると、
Res(0)=1
Res(π)=-1
Res(-π)=-1
Res(2π)=1
Res(-2π)=1
となるので、
∫ 1/sin(z) dz=2πi(1-1-1+1+1)=2πi
(2)∫ 1/(1-cos(z)) dz
f(z)=1/(1-cos(z)) について、f(z) は cos(z)=1、つまり z=2mπ で特異点をとり、特にCの内部では z=0,±2π が特異点となる。ここで f(z) を z=0 のまわりで展開すると、
f(z)=1/(1-1/2(z^2)+1/24(z^4)-・・・)
=1/(1/2(z^2)-1/24(z^4)+・・・)
であることから、Res(0)=0
同様に、Res(π)=0,Res(-π)=0 なので、
∫1/(1-cos(z)) dz=2πi・0=0
(3)∫ (1+z)/(1-e^z) dz
f(z)=(1+z)/(1-e^z) について、f(z) は z=2πim（mは整数）で特異点をとり、とくにCの内部では z=0,±2πi で特異点となる。ここで、
Res(0)=-1
Res(2πi)=-1-2πi
Res(-2πi)=-1+2πi となるので、
∫(1+z)/(1-e^z) dz=2πi(-1-1-2πi-1+2πi)=-6πi
(4)∫ tan(z) dz
f(z)=tan(z)=sin(z)/cos(z) について、f(z) は z=(2m+1)π/2 で特異点をとり、特にCの内部では z=±π/2、±3π/2,±5π/2 で特異点となる。ここで、
Res(±π/2)=-1
Res(±3π/2)=-1
Res(±5π/2)=-1 となるので、
∫tan(z) dz=2πi・(-6)=-12πi
お礼
親切丁寧にご回答いただき、まことにありがとうございます。 lim[t→0] it(t+nπ)/(sin(t)*(-1)^n) =inπ((-1)^n)lim[t→0] t/(sin(t)) という式変形は、 lim[t→0]t^2/sin(t) =lim[t→0]t*lim[t→0]t/sin(t) =0*1 =0 という式変形が含まれているということでよろしいでしょうか？