複素解析の極と留数を求める問題

質問

複素解析の極と留数を求める問題

f(z)=z/sinh(z)の留数はなぜ(-1)^n nπiなのですか？
f(z)の極はz=nπiだということは理解できるのですが、
その後の留数を求めるときの式変形ができません。

Res[f(nπi)]=lim[z→nπi](z-nπi)*z/sinh(z)

これ以降の式変形、導出ができません。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

z=ixと置換すると　sinh(z)=sinh(ix)=isin(x)なので

lim[z→nπi](z-nπi)*z/sinh(z)
=lim[x→nπ] i(x-nπ)*ix/(isin(x))
=lim[x→nπ] i(x-nπ)*x/sin(x)

t=x-nπと置換すると sin(x)=sin(t+nπ)=sin(x)cos(nπ)=((-1)^n)sin(t)　なので
lim[x→nπ] i(x-nπ)*x/sin(x)
=lim[t→0] it(t+nπ)/(sin(t)*(-1)^n)
=inπ((-1)^n)lim[t→0] t/(sin(t)
=inπ((-1)^n)

お礼

親切丁寧にご回答いただき、まことにありがとうございます。

lim[t→0] it(t+nπ)/(sin(t)*(-1)^n)
=inπ((-1)^n)lim[t→0] t/(sin(t))

という式変形は、
lim[t→0]t^2/sin(t)
=lim[t→0]t*lim[t→0]t/sin(t)
=0*1
=0

という式変形が含まれているということでよろしいでしょうか？

回答No.3

alice_44

それでよい。
質問者向けのヒントだったんだが。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

alice_44

x = z - nπi で変数変換して、sinh(z) を加法定理で展開してみると吉。

お礼

ご回答いただき、ありがとうございます。

参考にさせていただきます。