留数の求め方

質問

受けようと思っている大学院の過去問に次のような問題があったのですが、どうしても解けません。
f(z)=1/((exp(iz)-1)*z^2)
という関数があって、f(z)はz=0を3位の極として持つと思うのですが、
z=0での留数が計算できません。
z^3f(z)=z/(exp(iz)-1)をzで二階微分して、z→0を計算してみたのですが、分母も分子も不定形となって、極限が簡単に求まりません。
ロピタルの定理を用いようとしたのですが、分母も分子も複雑な形になって、他に簡単な求め方はないものかと思って質問させていただきました。どなたか分かる方がいましたら、ご教授お願いいたします。

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

せっかくなので、ちょっと丁寧に説明
exp(iz) = 1 + iz - z^2/2 - iz^3/6 + …
より、
(exp(iz)-1)*z^2 = iz^3 - z^4/2 - iz^5/6 + …
で、
1/(1+z) = 1 - z + z^2 - z^3 + …
を考えれば
f(z) = -i/z^3*1/(1 + iz/2 - z^2/6 - iz^3/24 + …)
　= -i/z^3*(1 - (iz/2+z^2/6-iz^3/24…) + (iz/2+z^2/6-iz^3/24…)^2 - …)
　= -i/z^3 - 1/(2z^2) + i/(12z) …
て感じで、最初の３項くらいまでは、簡単にローラン展開できます。

テーラー展開でもローラン展開でも、手で計算する場合は、直接定義式を計算するのではなくて、こんな感じに、簡単な関数の組み合わせで計算するのが普通です。

お礼

ありがとうございます。
僕は頭が固かったようですね。
おかげさまでなんとか解けそうです。

回答No.1

rabbit_cat

そんなに律儀に計算しないでも、級数展開の一意性っていうのがあるんで、とにかくなんでもいいからそれっぽい級数展開ができてしまえば、それが正しいんです。

というわけで、exp(z)=1+x+…を考えれば
exp(iz)-1)*z^2 = iz^3 + O(z^4)
ですから、
z^3*f(z) = 1/(i+O(z)) = -i/(1+O(z)) = -i + O(z)
でz^3の留数は -i ってことがわかります。