関数論？の問題

質問

f(z)はz=aで正則とし、f'(a)≠0とし、g(ζ)はζ=f(a)で一位の極で、その留数がAとする。
このとき、Res(g(f(z));a)を求めよ。
という問題が分かりません。どうか教えてください。お願いします。

回答No.1

Jyaikosan

g(ζ)をζ=f(a)でローラン展開します

g(ζ) = A/(ζ- f(a))+[定数と(ζ-f(a))の1次以上の項] ・・・(1)

ζ=f(z)を代入します

g(f(z)) = A/(f(z)- f(a))+[定数と(f(z)- f(a))の1次以上の項] ・・・(2)

f(z)はz=aで正則なので z=a でテーラー展開ができます

f(z)- f(a) = (z-a)(f'(a)+(z-a)の1次以上の項) ・・・(3)

これを(2)へ代入します

g(f(z)) = A/((z-a)(f'(a)+(z-a)の1次以上の項))+[定数と(z-a)の1次以上の項] ・・・(4)

(4)式の形からg(f(z))はz=aで一位の極を持ちます。留数は

Res(g(f(z));a) = (z-a)g(f(z))に z=a を代入した値 = A/f'(a) ・・・(5)

です。