ロピタルの定理を使った留数の求め方

質問

ロピタルの定理を使った留数の求め方

質問は2つあります。

(1)式の複素積分を、下図に示した複素平面状の閉じた経路に沿って行うことを考える。
ここでa（≠0）は実数で、図中のkは十分大きい(k≫|a|)整数とする。

(質問1)

留数を求めたいのですが、極がn(∈Z)の場合の留数の求め方が不安です。
数式のように計算しました。
途中でロピタルの定理を使っているのですが、
この使い方はあっているでしょうか？
ロピタルを使うときは、第2因子の分母z^2+a^2も微分しなければならないと思うのですが。

(質問2)

k→0としたとき、積分の値がゼロとなることを示したいのですが、
(6)式以降どうやったらいいかわかりません。

どなたかご教授いただけるとうれしいです。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(質問1)
Res(f,n)=lim[z->n] (z-n)f(z)
={lim[z->n] π(z-n)/{(z^2+a^2)tan(πz)}
={lim[z->n] π/(z^2+a^2)}{lim[z->n] (z-n)/tan(πz)}
(∵2つの関数の積に分けそれぞれが収束する場合はそれぞれの関数の極限の積に分割できる）
={π/(n^2+a^2)}{lim[z->n] (z-n)/tan(πz)}
ロピタルの定理を適用して
={π/(n^2+a^2)}lim[z->n] 1/{πsec^2(πz)}
={π/(n^2+a^2)}lim[z->n] cos^2(πz)/π
={π/(n^2+a^2)}(1/π)
=1/(n^2+a^2)

(2)
原点に一位の極が存在します。
z=0における留数は(1)でn=0とおけば
Res(f(z),0)=1/a^2
なのでk→0としても積分閉路の中のz=0の一位の極が含まれますので
積分値は留数定理から
2πi*Res(f(z),0)=2πi/a^2
となり、ゼロにはなりません。

お礼

ご回答頂きありがとうございます。

極限は積に分解できるということ、忘れておりました。

(質問2)で間違えていたところがありました。
k→0ではなくてk→∞でした。
k→∞のとき、積分の値がゼロとなることを示せというのですが、
これについてお答えいただけるとうれしいです。

n=0で極が存在するから留数は2πi/a^2となることは理解いたしました。

大変お手数をおかけしてしまい、申し訳ありません。