複素関数論

質問

複素関数の各特異点における留数を求める問題なのですが、
・z/sinz
を求めたいのですが、
極になる可能性はsin=0,すなわりz=nπ　しかし、
ord(z,0)=ord(sin,0)=1なので　←これ以降どうゆう意味なのですか？
z/sinzはz=0で正則
z/sinzはz=nπ,n≠0を１位の極に持ち、

Res(z/sinz,nπ)=(-1)＾nπ

ご回答お願いします。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

>ord(z,0)=ord(sin,0)=1

zは0で一位のゼロ点，sin(z)も0で一位のゼロ点を持つから
割り算すれば「一位のゼロ」どうしで「約分」されて
z/sin(z)はz=0では正則だと主張してるんです．

これは大雑把な表現であって，本当は正確ではなく，
細かく言えば

zは0で一位のゼロ点，sinzも0で一位のゼロ点を持つから
z=0はz/sin(z)の「除去可能な特異点」であるので
特異点としては扱わず，正則だと扱う

ということです．
やたらと丁寧にかくならば
f(z)= z/sin(z) (z≠0)
f(z)= 1　(z=0)
という関数を，z/sin(z) と表記してるのです．
これは複素関数論のお約束です．
教科書にも「除去可能特異点」のことは
きちんとでてるはずですし，出てなかったら先生にきいてください．

特異点には3種類あります
・除去可能
・極
・真性特異点
これらはローラン展開の主要部の形で区別できますし，
真性特異点にはある顕著な性質があります
（ワイエルシュトラスの定理）．　　　　
＃これも教科書にでてるはず

ちなみに，No.1さん
>z→0のとき、sin(z)≒z→0ですよね。
これは
z→0のとき、sin(z)≒z
のタイポですね

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。

なんとなくわかりました。

ありがとうございました。

回答No.1

N64

ヒント：
z→0のとき、sin(z)≒z→0ですよね。

お礼

ここまでは、わかりました。

ありがとうございます。