留数の求め方について

質問

f(z)=z^(-1)*cotzのz=0における留数の求め方が分かりません。

z=0が2位の極である所までは分かるのですが、
公式を適用しても留数が求まらず行き詰っています。
回答よろしくお願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

どんな公式を使ったのでしょうか。
　留数の基本どおりに求めるのが簡単なように思います。

　関数f(z)のz=0における留数をb1とすると、b1は関数f(z)をz=0でローラン展開したときの1/zの係数になっていますので、
　　f(z)＝1/z^2-z/3-z^2/45-・・・
　∴b1＝０
と求めることができます。
　このとき、g(z)=z^2・f(z)=z・cot(z)とおくと、g'(0)がg(z)を展開したときのzの係数であることから、f(z)の1/zの係数になることを利用すれば、より早く解くことができます。
　　b1=g'(0)=[z→0]lim[cot(z)-z/{sin(z)}^2]=0　（ロピタルの定理を駆使）

　一方、f(z)が正則関数の商であることを利用するものでは、
　　f(z)=p(z)/q(z), p(z)=cos(z), q(z)=z・sin(z)
とおくと、2位の極においける留数は
　　b1＝2p'(0)/q''(0)-2/3・p(0)q'''(0)/{q''(0)}^2
となりますので、
　　p(z)=cos(z) 　　　p(0)=1
　　p'(z)=-sin(z) 　　　p'(z)=0

　　q(z)=z・sin(z)
　　q'(z)=sin(z)+z・cos(z)
　　q''(z)=2cos(z)-z・sin(z)　　q''(0)=2
　　q'''(z)=-3sin(z)-z・cos(z)　q'''(0)=0
から、
　　b1＝０
と求めることもできますが、3階微分まで行わなければならないので大変です。

回答No.3

Mr_Holland

＃２です。
　どうやら、極限値の計算で困ったようですね。

＞　lim[z→0]d/dz[z^2*f(z)]
　＝lim[z→0][cot(z)-z/{sin(z)}^2]
　＝lim[z→0][{sin(2z)/2-z}/{sin(z)}^2]
　＝lim[z→0][{cos(2z)-1}/sin(2z)]
　＝lim[z→0][-2sin(2z)/{2cos(2z)}]
　＝０

お礼

ロピタルの定理を利用すれば良いのですか！それには気付きませんでした！また、ローラン展開を利用しても良いのですね！留数の基本を忘れていました。明解な回答ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_

>公式を適用しても留数が求まらず行き詰っています。
その適用しようとした「公式」をプリーズ。

補足

z=0が2位の極なので、Res[f,0]=lim[z→0]d/dz[z^2*f(z)]
で求めようとすると、分母が0になって求まらないのです。