大学数学の微分の問題です。

質問

次の関数についてｆ'(x)が存在するか調べよ。 また存在する場合にはｆ'(x)の値を求めよ。
f(x)=a^x-b^x という問題です。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

場合分けするなら、1 よりも 0 かどうかでしょう。

log a, log b が存在する範囲…
すなわち a≠0 かつ b≠0 の場合は、普通に、
f(x) = a^x - b^x より
f’(x) = (a^x)(log a) - (b^x)(log b) で、
変わったところはありません。

ただし、a, b が正の実数でない場合には、
a^x, b^x の枝選択に対応して、
(a^x)(log a), (b^x)(log b) の枝を適切に
選ぶ必要があります。

a=0 または b=0 の場合には、
f(x) は x≠0 でのみ定義され、
その範囲で、f'(x) は以下のようになります。

a≠0, b=0 の場合は、
f(x) = a^x - 0 より
f’(x) = (a^x)(log a)。

a=0, b≠0 の場合は、
f(x) = b^x - 0 より
f’(x) = (b^x)(log b)。

a=0, b=0 の場合は、
f(x) = 0 より
f’(x) = 0。

a=0 または b=0 の場合、
f'(0) は定義されません。

回答No.1

info22_

a>0,b>0であるとして
aについて　「0<a<1 or a>1」,「a=1」で場合分けする。
bについて　「0<a<1 or a>1」,「a=1」で場合分けする。

a=1の時　a^x=1^x=1
b=1の時　b^x=1^x=1
0<a<1,a>1(a≠0)の時　a^x=e^(xlog(a)),(a^x)'=log(a)*a^x
0<b<1,b>1(b≠0)の時　b^x=e^(xlog(b)),(b^x)'=log(b)*b^x

従って４通りに場合分けすればよい。

a=b=1の時　f(x)=a^x-b^x=1-1=0 → f'(x)=0 ...(■)

a≠1,b≠1の時
　a^x=e^(xlog(a)),b^x=e^(xlog(b))
　→ f'(x)=log(a)*a^x-blog(b)*b^x ...(★)

a≠1,b=1の時
　a^x=e^(xlog(a)),b^x=1
　→ f'(x)=log(a)*a^x　...(※)

a=1,b≠1の時
　a^x=1,b^x=e^(xlog(b))
　→ f'(x)=-blog(b)*b^x ...(☆)

以上をまとめると
a>0,b>0（指数関数の条件）の下では
f'(x)=(a^x)log(a)-(b^x)log(b)
となることが分かる。