微分についての問題です

質問

関数ｆ(x、y、z)＝ａxy^2＋byz+cz^2x^3のX＝（1,2、-1）における方向微分係数の値がＶ＝（1／√３、１／√３、１／√３）の方向において最大であり、その値が32√３となるようにａ，ｂ，ｃの値を定めよ。
という問題なんですが、最大について、どのようにあつかえばいいのかわかりません。答えはａ＝１１、ｂ＝１２、ｃ＝－４です。

回答No.6

nuubou · ベストアンサー

ｓ，ｘ，ｙ，ｚをそれぞれ実数の変数とする
ψ（ｘ，ｙ，ｚ）をｘ，ｙ，ｚに関して連続微分可能な実数値関数とする
ａ，ｂ，ｃをそれぞれ実数とする
α，β，γをそれそれ実数とする
α＾２＋β＾２＋γ＾２＝１とする
ｕ（ｓ）≡ａ＋α・ｓ，ｖ（ｓ）≡ｂ＋β・ｓ，ｗ（ｓ）≡ｃ＋γ・ｓとする
Ｇ（ｓ）≡ψ（ｕ（ｓ），ｖ（ｓ），ｗ（ｓ））とする
∇ψ（ａ，ｂ，ｃ）と（α，β，γ）のなす角をθとする
すると
ｄ（Ｇ（０））／ｄｓ＝∇ψ（ａ，ｂ，ｃ）・（α，β，γ）＝｜∇ψ｜・１・ｃｏｓ（θ）
である

方向微分係数ｄ（Ｇ（０））／ｄｓが最大になるのはθ＝０のときである
そのとき（α，β，γ）と∇ψ（ａ，ｂ，ｃ）は同一方向

回答No.8

nuubou

答えを出してないので問題が正しいかどうか分からないのですが
もし良かったら結果を報告せていただければありがたいのですが

よろしくお願いします

回答No.7

nuubou

ｐ：ｑ：ｒ＝１：１：１⇔ｐ＝ｑ＝ｒ
についての説明を求めているのではないですよね？

「どうして等式としてあつかえるのでしょうか？」
の意味が理解できませんでした

お礼

何度も何度もすいませんでした。ヨウヤク理解することができました。なかなか知識が実践であらわされないことに残念です。ほんとうにありがとうございました。

回答No.5

nuubou

ψをｘ，ｙ，ｚの関数とする
点Ｐの座標を（ｘ，ｙ，ｚ）とする
点Ｐから直線ｇを引く
ｇ上点Ｐの近くの点をＱとする
点Ｑの座標を（ｘ＋ｄｘ，ｙ＋ｄｙ，ｚ＋ｄｚ）とする
点Ｐから点Ｑに向かう長さをｄｓとする
ｇと∇ψのなす角をθとする
√（（∂ｘ／∂ｓ）＾２＋（∂ｙ／∂ｓ）＾２＋（∂ｚ／∂ｓ）＾２）＝１
だから
∂ψ／∂ｓ＝∂ψ／∂ｘ・∂ｘ／∂ｓ＋∂ψ／∂ｙ・∂ｙ／∂ｓ＋∂ψ／∂ｚ・∂ｚ／∂ｓ＝∇ψ・（∂ｘ／∂ｓ，∂ｙ／∂ｓ，∂ｚ／∂ｓ）
＝｜∇ψ｜・１・ｃｏｓ（θ）
方向微分係数∂ψ／∂ｓが最大になるのはθ＝０のときである

これは∇の基本的性質ではないでしょうか？

回答No.4

nuubou

連立方程式
∇（ｆ（Ｘ））・Ｖ＝３２・√（３）
∂（ｆ（Ｘ））／∂ｘ）：（∂（ｆ（Ｘ））／∂ｙ）：（∂（ｆ（Ｘ））／∂ｚ）
＝1／√３：１／√３：１／√３＝１：１：１
を解け

ならどうでしょう？
∇（ｆ（Ｘ））は傾き最大の方向を向いているのでは？

補足

何度も何度もすいません。やはりどうしても２つ目の式の意味がわかりません。どうして等式としてあつかえるのでしょうか？また最大との関係もいまひとつわかりません。
すいませんこのことを重点的に教えてください。

回答No.3

nuubou

α＝（１，０，０），β＝（０，１，０），γ＝（０，０，１）として

連立方程式
∇（ｆ（Ｘ））・Ｖ＝３２・√（３）
∇（ｆ（Ｘ））・α＝∇（ｆ（Ｘ））・β＝∇（ｆ（Ｘ））・γ
を求めればいいのでは？

補足

∇（ｆ（Ｘ））・Ｖ＝３２√３はわかるんですが、
次のグラディエントとα、β、γと内積をとる意味がわかりません。これと最大とどのような関係があるのでしょうか？また、α、β、γを単位ベクトルとおく意味もわかりません。すみませんが補足説明をいお願いします。

回答No.2

KaitoTVGAMEKOZOU

問題か答えがおかしくない？
ｆ(１、２、－１)＝４ａ－２ｂ＋Ｃ＝０　だよね。
ここでａ＝１１、ｂ＝１２、ｃ＝－４を代入すると、
４４－２４－４＝１６≠０

∴答えが違うか問題が違う。

補足

多分問題も答えも正しいと思われます。自分がわかるのはφ（ｔ）＝ｆ（X＋ｔV)として、φ’（０）＝３２√３とするところまでです。あと、なんでｆ（X)=０になるのですか？？自分にはわかりません。

回答No.1

KaitoTVGAMEKOZOU

（∂／∂ｘ，∂／∂ｙ，∂／∂ｚ）
＝（ａｙ^2＋３ｃｘ^2ｚ^2，２ａｘｙ＋ｂｚ，ｂｙ＋２ｃｚｘ^3）

出来るところまで書くのが礼儀です。