大学数学の微分の問題

質問

aを実数とした時、関数f(x)=|x|^αがx=0で微分可能であるためのαの条件を求めよ。

という問題です。
お願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

α は実数ですね？
f'(0) = lim[h→0](|h|^α - 0)/h が収束するかどうか
を考えればよいことになります。

| lim[h→0](|h|^α - 0)/h | = lim[h→0]|h|^(α-1) ですから、
f'(0) が ∞ 発散しないためには、α-1 ≧ 0 が必要です。
その中で、
α > 1 の場合は、lim[h→0](|h|^α - 0)/h = 0 で、収束。
α = 1 の場合は、lim[h→+0](|h|^1 - 0)/h = 1,
lim[h→-0](|h|^1 - 0)/h = -1 で、収束しません。

結局、x=0 で f(x) が微分可能なのは、
α > 1 のとき　となります。