∫（０～１）｜t-sinx ｜dtのとき ∫（０～

質問

∫（０～１）｜t-sinx ｜dtのとき　∫（０～２π）ｆ（X)ｄｘ　を求めよ　について教えてください！

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>∫(0～1）｜t-sin(x) ｜dtのとき
>∫（０～２π）ｆ（X)ｄｘ　を求めよ
問題がおかしいですね。
f(x)が定義されていません。

f(x)=∫(0～1)｜t-sin(x)｜dtのとき
∫(0～2π) f(x)dxを求めよ
でしょうか？

そうなら
sin(x)<0(π<x<2π)のとき　0<t<1より　t>sin(x)であるから
f(t)=∫(0～1) (t-sin(x))dt=(1/2)-sin(x) ...(A)

0≦sin(x)≦1(0≦x≦π)の時
積分区間(0～1)を(0～sin(x))と(sin(x)～1)に分けると
絶対値が積分区間ごとに外せるから
f(t)=∫(0～sin(x)) -(t-sin(x))dt+∫(sin(x)～1) (t-sin(x))dt
=[-t^2/2+tsin(x)](0～sin(x)) +[t^2/2-tsin(x)](sin(x)～1)
=(1/2)(sin(x))^2 +(1/2)-sin(x)+(1/2)(sin(x))^2
=(sin(x))^2-sin(x)+(1/2)　...(B)

従ってf(t)の積分は
I=∫(0～2π) f(x)dx
積分範囲を(0～π)と(π～2π)に分けるとそれぞれの積分区間で
f(x)は(B),(A)が対応するから
=∫(0～π) f(x)dx+∫(π～2π) f(x)dx
=∫(0～π){(sin(x))^2-sin(x)+(1/2)}dx
+∫(π～2π) {(1/2)-sin(x)}dx
=I1+I2
ここで
I1=∫(0～π){(sin(x))^2-sin(x)+(1/2)}dx
=∫(0～π){(1/2)(1-cos(2x))-sin(x)+(1/2)}dx
=∫(0～π){1-sin(x)}dx (∵cos(2x)の1周期(=π)の積分は0)
=π+[cos(x)](0～π)
=π-2

I2=∫(π～2π) {(1/2)-sin(x)}dx
=(π/2)+[cos(x)](π～2π)
=(π/2)+2

∴I=I1+I2=(3/2)π