積分∫1/t^3+1dtが解けません

質問

∫1/t^3+1dtを解こうと思い

t^3+1=x と置き

3t^2dt=dx
dt=…

というところで詰まってしまいました。
教科書も読んでみたのですが例題に載っていなくて困っています。
よろしくお願いします。

回答No.2

WiredLogic · ベストアンサー

微分と違って、元の式が簡単に見えても、積分は楽でない(場合によっては、普通の知っている範囲の関数では表せないことも)関数は少なくありませんが、これも、その１つです。

・高校生にとっては、誘導なしで入試に出ることはありえない、
　しかも誘導があっても、難問の類いでしょうし、
・理系の大学生なら、難問とは言ってほしくないところですが、
　手順が短いとは言えず、いくつか知識を総動員する必要があり、
　なおかつ、計算も面倒くさめの問題。得意な人でなければ、
　初めてやってハマるのは、仕方ないかと思います。

手順は、こんな感じになります。

・t^3 + 1 = (t+1)(t^2-t+1) から、
　恒等式・1/(t^3+1) = A/(t+1) + (Bt+C)/(t^2-t+1)
　のA,B,Cを求めて、部分分数分解をする。

・(t^2-t+1)' = 2t-1 を使って、
　(Bt+C)/(t^2-t+1) = (B/2)(2t-1)/(t^2-t+1) + (C+B/2)/(t^2-t+1)
　と、さらに部分分数分解をする。

・∫dx/(t+1) = log|t+1| (積分定数は略)
・∫(2t-1)dt/(t^2-t+1) = ∫(t^2-t+1)'dt/(t^2-t+1) = log|t^2-t+1|
　ここまでは簡単(後の方は、t^2-t+1＞0から絶対値も外せる)

・∫dt/(t^2-t+1) は、t^2-t+1 = (t - 1/2)^2 + (√3/2)^2 から、
　大学生で、覚えていれば、公式を使って積分、
　覚えてないか、高校生なら、t - 1/2 = (√3/2)tanθと置換して置換積分

ついでに、不定積分には、逆三角関数が出てくるので、
大学入試問題だとしたら、定積分しかありえず、
それも値が計算しやすい積分範囲が与えられた
ものしか出てこないはずです。

1/(t^3-1) も、同じ要領でできますし、
1/(t^5-1)なども、さらに面倒になりますが、ここらへんを参考にできます。

お礼

文系出身経済学部大学生です。

こんなにたくさんの手順が必要なんですね！
びっくりしました…

ご回答ありがとうございます
助かりました^^

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

http://www.wolframalpha.com/ で解いてもらいました。いやー便利ですね(^^;

1/6 (2 sqrt(3) tan^(-1)((-1+2 t)/sqrt(3))+2 log(1+t)-log(1-t+t^2)) + Constant

＃tan^(-1)は atan だと思います。

Maxima も同じ答えを返してきたので、間違いないでしょう。

どうやって解いたかは不明ですので過程は示せません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
便利なサイトがあるんですね！
とても助かりました^^