数学 バクテリア増殖の問題 教えてください

質問

8:00の時点で、25匹のバクテリアが、シャーレにいます。
8:15の時点で50匹、そして8:30の時点で100匹に増殖しました。

それではここで問題です。
バクテリアの数が　100,000,000　に達するのは次のうちどの時間でしょうか？
（ただし、増殖のスピードは一定とします）

a. 13:30
b. 17:15
c. 21:30

答え　aの13:30

解き方がわかりません。。
教えていただけますか？

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

「増殖のスピードは一定」というのが、
一定時間に個体数が定数倍になる
という意味だ という
お約束を知らないと、解けないかもしれません。
それは、厳密には、数学の外の話題ですが…
算数では、この種の空気読みを要求される
ことが日常です。

さて、今回は、30分で 4倍になったものが、
その後更に 1000,000倍になるのは何時か？
という問題ですね。
2 の 10 乗が 1024 であることは、
有名なので覚えてしまうとよいです。
2倍を 10回やると、すなわち
4倍を 5回やると約 1000倍になるわけだから、
1000,000倍にするには、4倍が約 10回くらい。
8:30から 30分が 10回なら、13:30ぐらい。
相当大雑把な計算だから、誤差は大きいとして、
選択肢で一番近いものを選ぶのですが、
今回は、13:30がありますね。

お礼

まさに求めていた解き方です！
試験は電卓が使えませんし、うちの国の数学のテストの傾向からしてこの解法が一番、求められている能力です。

教えていただいた方法を、他の類似問題にも活躍させていただきます。

ありがとうございました。

回答No.3

htms42

＞ただし、増殖のスピードは一定とします

この表現が正確ではありません。
「増殖のスピード」とは何でしょうか。
数の変化は一定ではありませんね。
数は１５分で２倍になっています。
８：４５にはいくつになっているでしょう。
９：００ではいくつになっているでしょう。
２００、４００だと言えますか。
そう言うためにはもう少し具体的な仮定が必要です。
「増殖のスピードは一定である」というだけではあいまいなのです。

２００，４００を出すためには
・どの個体も同等に分裂を繰り返す。
・個体の寿命は考えない
・分裂は一定の時間間隔で起こる。
・分裂の時間間隔は１５分である。
・シャーレの大きさは十分であるとする

という内容の仮定が必要です。
「増殖のスピードが一定」と「分裂の時間間隔が一定」とは同じではないですね。
あなたは「増殖のスピード」が「数の増加で考えたスピード」ではなくて「分裂の時間間隔で考えたスピード」だという違いが分かっていましたか。それがわからないから立ち往生したのではありませんか。
ｘ＝０で２５、ｘ＝ｔで５０、ｘ＝２ｔで１００になる関数はいくらでもあります。
放物線でｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃを考えてもａ，ｂ，ｃを決めることはできます。
指数関数的な変化であるということを十分に決定できるだけの仮定が必要なのです。

「何回か分裂を繰り返すと死んでしまう（または分裂能力がなくなってしまう）」というのであれば２回しか分裂を繰り返していない段階ではわかりませんね。シャーレの大きさが問題になるかもしれないというのもわかりません。全面を覆うようになると分裂が止まるということも起こるかもしれないのです（他の個体との接触状況がストップ命令を出す引き金になっているということは普通にあります。傷口がふさがってしまえば皮膚の細胞の増殖は止まってしまいます）。

回答No.1

noname#195146

15分ごとに2倍になるわけです。15分を時間の単位としてtと置くことにします。

　すると、100,000,000＝25×2^t（^tはt乗）をtについて解けばいいのです。まず、2^t＝4,000,000です（これで、tを1ずつ増やして調べてもOK）。

　両辺の対数をとると、log2^t＝log4,000,000　∴t×log2＝log4,000,000　∴t＝log4,000,000/log2　

　t＝21.9315…となります。tは15分ごとですから、15t＝328.97…≒330分＝5時間30分かけて、25から増えて100,000,000に達します。

　8：00からですと、13：30となります。

お礼

logを使った解き方を知りたかったので勉強になりました。ありがとうございました。