微分方程式を用いたバクテリア増殖

質問

ある種のバクテリアが1分間にその時の総数の1％を増加させていて、
一番最初の総数は「S」として、t分後の数を示したいんですけど、
微分方程式を立てないで答えを導いてしまいました。
その内容は
0分後(最初)の総数：S
1分後の総数：S+0.01S=1.01S=aと置き
2分後の総数：a+0.01a=1.01a=1.01の2乗*S=bと置き
3分後の総数：b+0.01b=1.01b=1.01の3乗*S=cと置き
・・・・
t分後の総数：1.01のt乗*S(まちがってるかな？)
って考えたのですが
おそらく微分方程式ならもっと簡単に導けると思うのですが、立式の仕方をご教授願います。

回答No.1

springside · ベストアンサー

この問題ならば、微分方程式ではなく、hirotaka1さんのように解けばいいと思います。
要するに、「1分後に1.01倍になる」のであるから、t分後には、1.01^t倍になる。
よって、t分後の総数はst^1.01（終）

仮に、問題が、「増加速度がその時の総数の1%である」という問題だと、以下のようになります。

時刻tにおけるバクテリアの総数をV(t)とすると、「増加速度が総数の1%」だから、
V'(t)=0.01V(t)
となる。
この微分方程式を解くと、
V(t)=Ce^(0.01t)（Cは定数）
となる。
t=0のときの総数をsとおくと、
V(0)=C=s
である。
以上により、V(t)=se^(0.01t)である。

回答No.2

yaksa

バクテリアの増殖ということなので、連続時間の微分方程式のほうが考え方としてはホントはいいのでしょうか。（答えは結局一緒ですが。）

t分後の総数をN(t)として、
dN/dt = c*N(t)
ただし、cは増加速度。また、N(0)=S
これを解いて、
N(t)=S*exp(c*t)
ここで、
N(t+1)/N(t) = exp(c) = 1.01
より、
N(t)=S*(1.01)^t

お礼

お二人とも、迅速かつわかりやすい回答ありがとうございました。