右R加群の定義

質問

くだらない質問をさせてください。

R × M → M　という作用にて、
(1)1x=x
(2)a(bx)=(ab)x
(3)(a+b)x=ax+bx
(4)a(x+y)=ax+ay
a,bはRの元　x,yはMの元

をみたすMを左R加群という。

ここで、(2)の代わりに
(2)'a(bx)=(ba)x　をみたすものを右R加群という。

なぜ右加群というかというと、RのMへの作用を、

xa:=axと右から書くほうが、
(2)'(xa)b=x(ab)となって見やすくなるからである。

という風にテキストに書いてあるのですが、
『xa:=axと右から書くほうが、
(2)'(xa)b=x(ab)となって見やすくなるからである。』というのは一体どういう意味なんでしょうか。
なにをしたんでしょうか。教えてください。

回答No.2

sunflower-san · ベストアンサー

Mを右R加群とします。
このとき「a,b∈Rについて、最初にa、次にbの順に作用させると、abを作用させるのと同じ結果になる」という性質があります。
(左R加群の場合は逆で、「a,b∈Rについて、最初にa、次にbの順に作用させると、baを作用させるのと同じ結果になる」という性質があります。)

まず、表記法として、x∈Mにa∈Rを作用させて得られたMの元をa[x]とかくことにすると、

a,b∈Rを最初にa、次にbの順に作用させたとき、x → a[x] → b[a[x]] となりますが、
これがabをxに作用させたものと同じになるので、(ab)[x] = b[a[x]]が成り立ちます。
もしRが非可換環だとするとab≠baの場合、(ab)[x]≠a[b[x]]なので、[]を省略して書くことはできません。

一方、表記法として、x∈Mにa∈Rを作用させて得られたMの元を[x]aとかくことにすると、

a,b∈Rを最初にa、次にbの順に作用させたとき、x → [x]a → [[x]a]b となりますが、
これがabをxに作用させたものと同じになるので、[x](ab) = [[x]a]bが成り立ちます。
この表記だとRが非可換であろうと、[x](ab)=[[x]a]bなので、[]を省略して単純にxabとしても意味が一通りにきまるので、見やすいということです。

非可換環上の加群の例をあげると、
(1) n次元縦ベクトル全体のなす空間Mにn次正方行列のなす環Rが左からの行列の掛け算として作用しているとき、Mは左R加群になります。
また、
(2) n次元横ベクトル全体のなす空間Mにn次正方行列のなす環Rが右からの行列の掛け算として作用しているとき、Mは右R加群になります。
また、(2)の言い換えですが、
(2') n次元縦ベクトル全体のなす空間Mにn次正方行列のなす環Rが左からの転置行列の掛け算として作用しているとき、Mは右R加群になります。

お礼

助かります。

回答No.3

alice_44

書いてある、そのまんまですよ。
(2)'　a(bx)=(ba)x と
(2)'　(xa)b=x(ab) では、どちらの方が
把握しやすく、覚えやすいですか？

右R加群への R の作用は、
左作用 R×M→M として書くよりも
右作用 M×R→M として書く方が
式が簡単になる…というだけです。

右加群の作用が、左作用 f:R×M→M で与えられていたら、
右作用 g(x,a) = f(a,x) を定義してしまって、
g を使って記述した方が、計算が楽に行えます。

お礼

参考になりました。ありがとうございます。

回答No.1

mnrptxvc

質問の意味がよくわからないのですが。

テキストに書いてある通りで、何の疑問も起きません。

最初の記法だと、aとbの位置関係が変化するので、わかりにくい(式の変形の際に間違えやすい。かっこを使わないと式の意味があいまいになる。)
右から書くと、aとbの位置関係が変化しないので、わかりやすい。

単に書き方の問題なので、気にすることではないのでは？

お礼

自己解決しました。ありがとうございます。