数学 ネーター加群の質問です

質問

R-加群の直和: ＋○ i=1→n M_i (M_1からM_nまでの直和のこと)がネーター加群である
⇔各M_iがネーター加群である.

という命題の証明です。

⇒)は明らか.
←)の証明は、解答には

n≧2のとき,R-同型 ＋○ i=1→n M_i /M_1 (同型) ＋○ i=2→n M_i
より, (1)とnに関する帰納法を用いればよい.

とありました。

(1)の内容は,
『NをR-加群Mの部分加群とする.Mがネーター加群である必要十分条件は,NおよびM/Nがネーター加群になることである.』
というものです。

解答の同型の意味がよくわからず、詰まってしまいました。また、同型を仮定したとして、帰納法がうまくできません。

よろしければご助言お願いします。

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

「同型の証明方法はわかりますか？」

ANo.1 の (d) の証明ということですね。

直接証明してもいいのですが、下の命題１を使う方が見通しが良いと思います。

A =「M1からMnの直和」
B =「M2からMnの直和」
f：A から B への自然な全射準同型（ A の元 (a1, a2, ・・・, an) に B の元 (a2, ・・・, an) を対応させる）

とするとき、

　Ker(f) ＝ M1

となるので、命題１が適用できます。なお、ここで、M1 の元 a1 と A の元 (a1,0, ・・・, 0) を同一視することにより、M1 を A の部分加群とみなしています。

****************

命題１　R を環、X と Y をR加群、g を X から Y への全射準同型とする。 Ker(g) を、g による 0 の逆像（g(x) = 0 となる X の元 x 全体）とする。
このとき、 Ker(g) は、 X の部分加群であって、剰余加群 X/ Ker(g) は、 Y と同型である。

命題１の証明は簡単なので、演習問題のつもりでご自分でやってみてはいかがでしょうか？

お礼

いろいろとご丁寧に解説していただき、ありがとうございました！

その方法は自分でも考えたのですが、Kerの部分がしっくりこなくて悩んでいました。

最初からもう一度やりなおして、しっかり理解しようと思います。

本当にありがとうございました！

回答No.1

ramayana

添付図の (b)⇒(a) を、帰納法を使って証明したいということですね。

で、(b) の前提の下で、帰納法の仮定により (c) が成立。
一般に (d) が成立するから、(c) と (d) により (e) が成立。
(b) により (f) が成立。
(e) と (f) 及び (1) により (a) が成立。

ということなんですが、どこが分かりませんか？

お礼

遅くなってごめんなさい。ご回答ありがとうございます。

ご丁寧な解説により、理解できました！蓋を開けると大したことないですね・・・
なぜわからなかったのかと悔しい想いです。

重ねての質問で申し訳ないのですが、同型の証明方法はわかりますか？

私は同型の右辺（i=2からnまでの直和）から左辺への写像を取れば、全射は言えて、あとは単射を言えばいいのかなと考えているのですが、まだまとまっていない段階です。

もしよろしければお願いします。