Rが可換環の時、MがR上の左加群なら右加群でもあることの証明

質問

お世話になります。よろしくお願いします。

表題の通りなのですが、
Rが可換環の時、MがR上の左加群なら右加群でもあることの証明が
分からずに困っています。

質問を正確に書きますと
Rは可換環、Mは加法で定義された可換群とします。
R×MからMへの演算
(r,m)→rmが定義されています。
この時

(1)r(m + m') = rm + rm'
(2)(r + r')m = rm + r'm
(3)(rr')m = r(r'm)
(4)1m = m

が成り立つなら、（これが左加群の定義）

(1)’(m + m')r = mr + m'r
(2)’m(r + r') = mr + r'm
(3)’m(rr') = (mr)r'
(4)’m1 = m

が成り立つことを示す、(これが右加群の定義)
というものです。

(1)、(2)、(3)、(4)のうち1つでもいいので
よろしくお願いします。

質問が分かりづらい時は
こちらの命題１、３を参考にしてください。
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&safe=off&q=%E5%8F%B3%E5%8A%A0%E7%BE%A4%E3%80%80%E5%8F%AF%E9%99%A4%E5%85%83&btnG=%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=

回答No.6

arrysthmia · ベストアンサー

＞「Rが可換環」ならmとrが交換可能(rm=mr)というわけではないですよね

あたりまえです。
「Rが可換」とは、Rの任意の元 r,r' について rr' = r'r ということです。
積 rm のmは、Rの元ではないし、
積 mr は、この時点では定義すらされていません。
それを、貴方自身が定義せよと、No.2 さんが繰り返し言っていますね。

例の「xa:=ax」は、
Mの元を左から、Rの元を右から掛ける乗法 mr を
既に定義されている乗法 rm を用いて mr = rm と定義せよ、そうすれば
(1)'～(4)' が成立して上手くいく…という意味です。
No.4 の記号で書けば、関数ψを、ψ(m,r) = φ(r,m) で定義せよ
ということです。

＞ Rが非可換環の時(2)と(2)'との間に本質的な違いがある。

原文は、
「Rが非可換環の時(M2)と(M2')との間に本質的な違いがある」ですね。
(M2) と (M2') は、貴方の質問文では (3) と (3)' になっています。

mr = rm …(*) と定義すれば、
m(rr') = (rr')m　　←(*)より
　　　= (r'r)m　　←Rの可換性より
　　　= r'(rm)　　←(3)より
　　　= r'(mr)　　←(*)より
　　　= (mr)r'　　←(*)より
となって、(3)' が成り立ちます。

お礼

どうもありがとうございます！

ご回答の最後の5行で疑問の余地はないと思います。
私は全然次元の違うことを考えておりました。

>mr = rm …(*) と定義すれば、
これが定義そのものだったとは・・・。
改めて読み直せばそう書いてあるんですが・・・。

全く自分の未経験の考え方だったので、
自分一人で気づくのは無理だったと思います。

こんなにご丁寧な回答本当にありがとうございます。
とても助かりました。

回答No.5

koko_u_

>おそらくRが可換の時に簡単に定まるψは
>『ψ：(m,r)→mr』のことだと推測します。

まったく違う！

そこに書いた「mr」がいったい何者かもう一度よーく考えるように。

お礼

頓珍漢な質問ばかりですみませんでした。

arrysthmiaさんの回答で分かったような気がします。

この度はご協力どうもありがとうございました。

回答No.4

koko_u_

>私は
>『Rは環、Mは加法で定義された可換群とします。
>R×MからMへの演算
>(r,m)→rmが定義されていて
>(1)(2)(3)(4)が成立し、
>
> そしてさらに
>R×MからMへの演算
>(r,m)→mrが存在して
>Rが可換環の時
>(1)'(2)'(3)'(4)'が成立する。』
>
> と解釈したのですが、
> 間違っていましたらご指摘ください。

まったく間違えています。
右加群になるには先に書いたように、

M × R -> M

の写像が必要です。
これは左加群で与えられた写像とは本来何の関係もありません。

簡略化して書くから混乱していると想像します。
左加群の構造を与える写像

φ : R × M -> M

とは「別に」右加群の構造を与える写像

ψ : M × R -> M

が必要です。R が可換の時には、ψの「一つ」としてφを用いて
定義できる写像が簡単に与えられる。ということです。

補足

御回答どうもありがとうございます。

>R が可換の時には、ψの「一つ」としてφを用いて
>定義できる写像が簡単に与えられる。

おそらくRが可換の時に簡単に定まるψは
『ψ：(m,r)→mr』のことだと推測します。

φ : R × M -> M
として『φ：(r,m)→rm∈M』
が定義されると
Rが可換の時
ψ : M × R -> M
として『ψ：(m,r)→mr∈M』が与えられる。
と解釈しました。

としますと
Rが可換の時、mr∈Mになるということになります。
これ『Rが可換の時、mr∈M』がなぜなのかが分かりません。

すみません、まだよく分からないので、
推測によって議論を進めました。
また大きく勘違いしている可能性もあるので、
修正などよろしくお願いします。

あと『「Rが可換環」ならmとrが交換可能（rm＝mr）』というのはやっぱり違いますよね。

回答No.3

arrysthmia

リンク先の 命題1.3.(i) に答えが書いてあるじゃありませんか。
同サイトの 定義1.2. を読みなおしましょう。
「右加群であるとは、写像～が存在して、～が成り立つことをいう。」
と、あるでしょう？
質問の証明でするべきは、(1')～(4')の成立を示すというよりも、
(1')～(4')が成立するような M×R→M の写像 (m,r)→mr の存在を示す
ことです。その答えが、「xa:＝ax a∈R x∈M」ですよ。
xa:＝ax の「:＝」は、「xa の意味を ax と定義する」という記号です。

それを理解したうえで、No.1 さんの(3)→(3')に再度返事をどうぞ。

補足

御回答どうもありがとうございます。

参照HPの注意１、５に「Rが非可換環の時(2)と(2)'との間に本質的な違いがある。」とあります。

逆に言えば「Rが可換環なら(2)と(2)'は同じもの」だと思うのですが、
「Rが可換環」という条件をどこで使っているのかが分からないのです。
「Rが可換環なら～が成立するので(2)と(2)'は同じもの」
「Rが非可換環なら～が成立しないので(2)と(2)'は異なる」
の「～」の部分を教えていただきたいのですが。

「Rが可換環」ならmとrが交換可能（rm＝mr）というわけではないですよね？

回答No.2

koko_u_

右加群になるには、演算

M×R -> M

が必要です。これをどう定義するか補足にどうぞ。

補足

補足要求ありがとうございます。
よろしくお願いいたします。

私は
『Rは環、Mは加法で定義された可換群とします。
R×MからMへの演算
(r,m)→rmが定義されていて
(1)(2)(3)(4)が成立し、

そしてさらに
R×MからMへの演算
(r,m)→mrが存在して
Rが可換環の時
(1)'(2)'(3)'(4)'が成立する。』

と解釈したのですが、
間違っていましたらご指摘ください。

この時「Rが可換環なら」という条件をどこで使ったのかが謎です・・・。
「Rが可換環なら」成り立って、「Rが非可換環なら」成り立たない部分はいったいどこなのでしょうか？
「Rが可換環」ならmとrが交換可能（rm＝mr）というわけではないですよね？

回答No.1

rinkun

> R×MからMへの演算
> (r,m)→rmが定義されています。

この定義なら右加群の場合の式は
(1)’r(m + m') = rm + rm'
(2)’(r + r')m = rm + r'm
(3)’(rr')m = r'(rm)
(4)’1m = m
でないとおかしいと思うけど。

それで、こう書くと左加群と右加群の違いは本質的に(3)と(3)'の違いだと分かるでしょう。
ここまで書けば質問の答えは明らかだと思うけどどうかな。

補足

御回答どうもありがとうございます。

御回答を読みまして、
私が右加群の言葉の意味を勘違いしているのかもしれないと思ったのですが、
『Rが可換環の時、MがR上の左加群なら右加群でもあること』と
『Rが可換環であれば｛(1)、(2)、(3)、(4)｝から
｛(1)’(2)’(3)’(4)’｝が導けるということ』とは違うのでしょうか？

参照HP命題１，３の
「xa:＝ax a∈R x∈M」の意味がそもそも分からないのですが・・・。
これがもしかしたら重要なのかなと思ったのですが・・・。