群について

質問

単位元Iをもつ半群Sの元aが逆元a’を持つならば、任意の元bに対してa・x=b,　y・a=bとなるx、yが一意的に定まる。

証明
a・x=bならばa'a・x=a'・b, I・x=a'・b
よってa・x=b　⇒　x=a'・b

逆にx=a'・bとすればa・x=bとなる。
同様にy・a=bの解はy=b'・a

と証明が書いてありました。

ところでなぜこれで一意性が証明できたのでしょうか？
「逆に」は本当に必要なのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.6

NoSleeves · ベストアンサー

ANo.4 に対する補足質問に回答したいのですが、

＞以上がx = a'・b とすると a・x = b …(ii)を示すことがなぜ存在を示すことになる事の説明であってますか？

この部分が、何を仰りたいのか、よく理解できません。
失礼ですが、日本語として少し変な表現です。

また、質問タイトルも「群について」となっていますが、S は半群ですよね（単位元を持つので、モノイドまでいえます）。
さらに、S と書いていたものを今回は G と書いているし、I と書いていた単位元を e と書いたり、もう少し慎重に質問してください。

話題は変わりますが、こういう証明では、まず「存在する」ことを示して、その後で「一意である」ことを示すのが一般的です（ANo.3 に書いた証明は、その順番になっています）。
ですが、お手持ちの本では、まず「存在するなら一意である（x = a'・b に限られる）」ことを示し、その後で「存在する」ことを示しています。
せっかく「存在するなら一意である」ことを証明しても、その後で「存在しない」ことが確認できてしまったら、最初の努力が無駄になります。
よって、お手持ちの本に書かれている証明は完璧ではありますが、ちょっとだけ「あれっ？」と感じてしまいました。

話を最初に戻します。
a・x = b となる x の存在を示すには、そのような x を具体的に発見すればOKです。
a'・b は、x の条件を満たしています。
よって、a・x = b を満たす x は、間違いなく存在します。

お礼

おそくなりました。

NonSleevesさん、何度も親切に本当にありがとうございます！

NonSleevesさんが書いたものをもとに自分なりに考えてみたところ、証明の言わんとしていることと、自分なりの直観的解釈がえられました。

回答No.5

NoSleeves

何度も失礼します。
ANo.4 に間違いがありました。

「一意性は証明できていません。この本の証明は、不完全です」は間違いで、最初の本の証明は欠陥がありません。

回答No.4

NoSleeves

質問者様の質問に、具体的に答えます。

＞ところでなぜこれで一意性が証明できたのでしょうか？
一意性は証明できていません。
この本の証明は、不完全です。

＞「逆に」は本当に必要なのでしょうか？
必要です。
「逆に」以下を省略すると、a・x = b を満たす x ∈ S が存在することを示したことになりません。
「a・x = b ならば x = a'・b」 ということをいっただけでは、x = a'・b が成り立つのを示したことにはならないからです。

＞しかしその証明には今回のように「存在」の証明については一切触れられていませんでした。
＞なぜですか？
「別の本」も、最初の本と同様に、証明は不完全です。

＞x = a'・b とすると a・x = b …(ii)を示すことがなぜ存在を示すことになるのかが未だにわかりません
これは明らかなので、じっくりと考えてみてください。

補足

x=a'・bはGの中に存在する。また、a'の逆元aもGの中に存在するので、左からかけると、ax=aa'・b
aa'=e, eb=bよりax=bになる

よってx=a'・bはax=bを満たすx
ところで最初の方でx=a'・bはGの中に存在するといったので、
ax=bを満たすxはGの中に存在する

以上がx = a'・b とすると a・x = b …(ii)を示すことがなぜ存在を示すことになる事の説明であってますか？

回答No.3

NoSleeves

まず、問題を書き間違えていませんか。

＞同様にy・a=bの解はy=b'・a

という部分は、

y・a = b の解は y = b・a'

が正しいです。

で、質問者様の疑問点は、どういう内容でしょうか。
どうも、よく伝わってこないのですが。

S の任意の元 b に対して、x = a'・b ∈ S とすれば、

a・x = a・(a'・b) = (a・a')・b = I・b = b

となりますから、x = a'・b は確かに a・x = b を満たします。

つまり、a・x = b を満たす x ∈ S の存在が示されました。

ただし、x の一意性は、まだ確認できていません。

そこで、x'∈ S が a・x' = b を満たすとき、x = x' であることを示します。

両辺に左から a' をかけて、

a'・(a・x') = a'・b

さらに、左辺を変形することにより、

(a'・a)・x' = a'・b

I・x' = a'・b

x' = a'・b

これにより、x = x' がいえたので、一意性が証明されたことになります。

これでもまだ疑問が解消しないなら、補足質問してください。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

〉しかしその証明には今回のように「存在」の証明については
〉一切触れられていませんでした。

本当は駄目です。わかりきってはいるけれど。

補足

x=a'・b とすると a・x=b …(ii)を示すことがなぜ存在を示すことになるのかが未だにわかりません

回答No.1

akinomyoga

「一意的に定まる」事の証明をする時は、「存在」と「一意性」の両方を示さなければなりません(存在が自明な場合は敢えて明示的に示さないかもしれないが)。つまり、その様な元 x, y が(I)"存在する事"と(II)"存在した場合に一意である事"を示します。

つまり、証明をもう少し丁寧にすると以下の様に書けます。
-----
(証明)
質問内容の証明の初めの段落より、
　∀x ∈S, a・x=b ⇒ x=a'・b …(i)
そして「逆に」の段落より、
　x=a'・b とすると a・x=b …(ii)
(ii)より a・x=b を満たす元 x∈S が(少なくとも1つ)存在する■[(I)存在]。
その上で、(i)に戻ってみると、その様な元 x は常に a'・b であると分かる■[(II)一意性]。
-----

(補足1)
因みに、「逆に」を抜かして
　∀x ∈S, a・x=b ⇒ x=a'・b …(i)
だけしか示していないと、「確かにその様な x が存在すれば一意になるという事は分かるが、そもそも a・x = b を満たす様な x が一つも存在しないかもしれないじゃないか」と反論されてしまいます。

(補足2)
初めの段落で "⇔" ではなく "⇒" になるのは、
　x = y ⇒ a x = a y
は成り立っても、逆:
　a x = a y ⇒ x = y
は必ずしも成立しないからです。aの逆元がある場合だけしか成立しません。因みに実数の場合は a=0 以外は積の逆元が存在するので、a≠0 だけ気を付ければ上は "⇔" になります。

普通の実数の計算では a≠0 である限り、a x = a y ⇔ x = y の同値変形が成立するので、同じ様な感覚で、今回の証明の初めの段落で ∀x ∈S, a・x=b ⇔ x=a'・b を示した気分に (つまり、(i)と(ii)の両方を示した気分に) なりがちですが、片方しか示せていない事にご注意下さい。

補足

別の本の証明では、まず∀x ∈S, a・x=b ⇒ x=a'・b …(i)
を示してから、解が二つあると仮定するとその二つは等しいことを証明することによって一意性を証明していました。

しかしその証明には今回のように「存在」の証明については一切触れられていませんでした。

なぜですか？