この問題を教えてください。

質問

下の問題の解答と解説をお願いします。
途中経過もよろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

p(a)=p(b)
u(a)=u(b),v(a)=v(b)
u'(a)=u'(b),v'(a)=v'(b)
u(x)L[v(x)]-v(x)L[u(x)]}=[p(x){u(x)v'(x)-v(x)u'(x)}]'
とすれば,両辺を積分すると
∫_{a～b}{u(x)L[v(x)]-v(x)L[u(x)]}dx
=[p(x){u(x)v'(x)-v(x)u'(x)}]_{a～b}
=[p(b){u(b)v'(b)-v(b)u'(b)}]-[p(a){u(a)v'(a)-v(a)u'(a)}]
=0
↓
∫_{a～b}u(x)L[v(x)]dx=∫_{a～b}v(x)L[u(x)]dx
∴<u,Lv>=<Lu,v>

線形作用素Lの異なる固有値λ≠μ,に属する
固有関数をu=u_i,v=u_j,i≠j
とすれば,
L[u(x)]=λu(x)
L[v(x)]=μv(x)
↓
<u,Lv>=∫_{a～b}u(x)L[v(x)]dx=μ∫_{a～b}u(x)v(x)dx
<Lu,v>=∫_{a～b}v(x)L[u(x)]dx=λ∫_{a～b}u(x)v(x)dx
↓<u,Lv>=<Lu,v>だから
(λ-μ)∫_{a～b}u(x)v(x)dx=0
↓λ≠μだから
∫_{a～b}u(x)v(x)dx=0

お礼

どうもありがとうございました。